《数学第一章思维导图》

一、 集合

1.1 集合的概念

1.1.1 定义

• 具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
• 组成集合的对象称为该集合的元素。

1.1.2 集合的表示

• 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。例如：{1, 2, 3}
• 描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合。例如：{x | x > 0, x ∈ R}
• Venn图法：用封闭曲线的内部表示集合。

1.1.3 集合的特性

• 确定性：集合中的元素必须是确定的，不允许模棱两可。
• 互异性：集合中的元素必须是互不相同的，相同的元素只能出现一次。
• 无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。

1.2 集合间的基本关系

1.2.1 子集

• 定义：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
• 真子集：如果A ⊆ B，且A ≠ B，那么称A是B的真子集，记作 A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
• 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 Ø。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
• 集合相等：如果A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么称集合A与集合B相等，记作 A = B。

1.2.2 并集

• 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。 A∪B = {x | x ∈ A, 或 x ∈ B}

1.2.3 交集

• 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。 A∩B = {x | x ∈ A, 且 x ∈ B}

1.2.4 补集

• 定义：设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作C_UA。 C_UA = {x | x ∈ U, 且 x ∉ A}
• 全集：包含所研究的各个集合的集合，通常记作U。

1.3 集合的基本运算

1.3.1 交集运算

• 交换律：A∩B = B∩A
• 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
• A∩A = A
• A∩Ø = Ø
• A∩U = A (如果A是U的子集)

1.3.2 并集运算

• 交换律：A∪B = B∪A
• 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
• A∪A = A
• A∪Ø = A
• A∪U = U (如果A是U的子集)

1.3.3 补集运算

• C_U(C_UA) = A
• C_U(A∪B) = (C_UA)∩(C_UB)
• C_U(A∩B) = (C_UA)∪(C_UB)

1.4 集合的应用

1.4.1 韦恩图应用

• 用于直观表示集合之间的关系和运算结果。
• 解决实际问题，例如：统计问题，逻辑推理问题。

1.4.2 数轴的应用

• 用于表示实数集合，特别是涉及不等关系的集合。
• 用于求解不等式，特别是解集的形式。

1.4.3 集合语言的应用

• 将数学问题转化为集合问题，利用集合的性质和运算进行求解。
• 提高数学思维能力，培养逻辑推理能力。

二、 常用逻辑用语

2.1 命题

2.1.1 定义

• 可以判断真假的语句称为命题。

2.1.2 命题的构成

• 原命题：若p，则q
• 逆命题：若q，则p
• 否命题：若¬p，则¬q
• 逆否命题：若¬q，则¬p

2.1.3 四种命题的关系

• 原命题与逆否命题等价。
• 逆命题与否命题等价。

2.2 逻辑联结词

2.2.1 “或” (∨)

• p∨q：p或q。 只要p, q中至少有一个为真，则p∨q为真；p, q都为假时，p∨q为假。

2.2.2 “且” (∧)

• p∧q：p且q。 只有p, q都为真时，p∧q为真；p, q中至少有一个为假时，p∧q为假。

2.2.3 “非” (¬)

• ¬p：非p。 p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。

2.3 量词

2.3.1 全称量词 (∀)

• ∀x ∈ A, p(x)：对于集合A中的所有x，p(x)都成立。
• 全称命题的否定：¬(∀x ∈ A, p(x)) ≡ ∃x ∈ A, ¬p(x)

2.3.2 存在量词 (∃)

• ∃x ∈ A, p(x)：存在集合A中的某个x，使得p(x)成立。
• 存在命题的否定：¬(∃x ∈ A, p(x)) ≡ ∀x ∈ A, ¬p(x)

2.4 充分条件与必要条件

2.4.1 充分条件

• 若p ⇒ q，则p是q的充分条件。 （p能够推出q）

2.4.2 必要条件

• 若p ⇒ q，则q是p的必要条件。 （没有q，就没有p）

2.4.3 充要条件

• 若p ⇔ q，则p是q的充要条件。 （p能够推出q，且q能够推出p）

2.5 逻辑用语的应用

2.5.1 数学证明

• 利用逻辑推理证明数学命题。
• 反证法：利用否命题进行证明。

2.5.2 问题解决

• 分析问题，找出充分条件和必要条件。
• 利用逻辑联结词构造新的命题，解决问题。

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