《数学必修一第三章思维导图》

I. 函数的概念与性质

A. 函数的概念

• 定义:
  • 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y = f(x)，x∈A。
  • A: 定义域 (domain)
  • B: 值域 (range) (注意不是陪域)
  • f: 对应关系 (mapping rule)
  • x: 自变量
  • y: 因变量
• 函数的表示方法:
  • 解析法: 用数学表达式 (即函数表达式) 表示函数关系。
    • 优点：能清晰地表达函数关系，容易计算函数值。
    • 缺点：有些函数关系无法用解析式表示。
  • 图象法: 用函数图象表示函数关系。
    • 优点：直观形象地表示函数关系，便于观察函数的性质。
    • 缺点：不够精确，难以计算函数值。
  • 列表法: 用表格列出函数关系。
    • 优点：简单明了，易于理解。
    • 缺点：只能表示离散的对应关系，信息量有限。
• 定义域的求法:
  • 分母不为零
  • 偶次根式下非负
  • 对数真数大于零，底数大于零且不等于1
  • 零次幂的底数不为零
  • 实际问题具体分析
• 值域的求法:
  • 直接法/观察法
  • 配方法
  • 换元法
  • 反函数法
  • 判别式法
  • 单调性法
  • 最值法
  • 不等式法

B. 函数的性质

• 单调性:
  • 定义:
    • 增函数: 对于定义域I内的任意两个数x1, x2，如果x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，那么就称函数f(x)在定义域I上是增函数。
    • 减函数: 对于定义域I内的任意两个数x1, x2，如果x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，那么就称函数f(x)在定义域I上是减函数。
  • 单调区间的确定：
    • 定义法：设x1 < x2，判断f(x1)与f(x2)的大小关系。
    • 导数法：f'(x) > 0，则为增函数；f'(x) < 0，则为减函数。 (高中阶段仅限简单函数的导数)
  • 复合函数的单调性：“同增异减”
• 奇偶性:
  • 定义:
    • 奇函数: 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = -f(x)。
    • 偶函数: 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)。
  • 注意点：
    • 首先考察定义域是否关于原点对称。
    • 奇函数的图像关于原点对称。
    • 偶函数的图像关于y轴对称。
    • 如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0) = 0。
• 周期性:
  • 定义: 存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任何x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。
  • 最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数称为最小正周期。
• 对称性:
  • 关于x=a对称: f(a+x) = f(a-x)
  • 关于(a,b)对称: f(a+x) + f(a-x) = 2b

II. 基本初等函数 I

A. 指数函数

• 定义: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
• 图像: (a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减)
• 性质:
  • 定义域: R
  • 值域: (0, +∞)
  • 恒过定点(0, 1)
  • 当a > 1时，在R上是增函数。
  • 当0 < a < 1时，在R上是减函数。
• 指数运算性质:
  • am * an = am+n
  • am / an = am-n
  • (am)n = amn
  • (ab)n = anbn

B. 对数函数

• 定义: y = logax (a > 0, a ≠ 1)
• 图像: (a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减)
• 性质:
  • 定义域: (0, +∞)
  • 值域: R
  • 恒过定点(1, 0)
  • 当a > 1时，在(0, +∞)上是增函数。
  • 当0 < a < 1时，在(0, +∞)上是减函数。
• 对数运算性质:
  • loga(MN) = logaM + logaN
  • loga(M/N) = logaM - logaN
  • logaMn = nlogaM
  • loga1 = 0
  • logaa = 1
  • 换底公式: logab = logcb / logca

C. 幂函数

• 定义: y = xa (a ∈ R)
• 图像: (不同a值对应不同的图像，需要掌握几种典型情况: a = 1, 2, 3, 1/2, -1)
• 性质:
  • 定义域随a变化而不同
  • 值域随a变化而不同
  • 过定点(1, 1)
  • 在(0, +∞)上的单调性取决于a的符号。

III. 函数的应用

A. 函数与方程

• 函数的零点:
  • 定义: 使f(x) = 0的实数x称为函数y = f(x)的零点。
  • 几何意义: 函数y = f(x)的零点是函数y = f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。
• 零点存在性定理:
  • 如果函数y = f(x)在区间[a, b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b) < 0，那么函数y = f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
• 二分法求方程的近似解:
  • 步骤：
    1. 确定区间[a, b]，验证f(a)f(b) < 0，给定精度ε。
    2. 求区间(a, b)的中点c。
    3. 计算f(c)。
    4. 如果f(c) = 0，则c就是函数的零点；如果f(a)f(c) < 0，则令b = c；如果f(c)f(b) < 0，则令a = c。
    5. 判断是否达到精度ε，即|a - b| < ε？若达到，则得到零点近似值；否则，重复步骤2-5。

B. 函数模型及其应用

• 常见函数模型:
  • 一次函数模型: y = ax + b
  • 二次函数模型: y = ax2 + bx + c
  • 指数函数模型: y = a * bx
  • 对数函数模型: y = a + blogcx
  • 幂函数模型: y = axn
• 建立函数模型的步骤:
  1. 阅读理解，抽象出数学问题。
  2. 分析问题，选择合适的函数模型。
  3. 建立函数关系式。
  4. 求解函数关系式。
  5. 检验结果，回归实际问题。
• 增长速度比较: 在(0,+∞)上，对于任意的n>0, a>1，存在x0，当x>x0时，总有an>xn>loganx。