《高一数学必修一知识点思维导图》

一、集合与常用逻辑用语

1.1 集合

• 1.1.1 集合的概念

  • 定义：具有某种特定性质的对象的总体。
  • 元素：构成集合的对象。
  • 特征：确定性、互异性、无序性。
  • 表示方法：列举法、描述法、Venn图法。

• 1.1.2 集合间的基本关系

  • 子集：若A中所有元素都在B中，则A⊆B。
  • 真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⊂B。
  • 空集：不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。记为∅。
  • 集合相等：A=B，当且仅当A⊆B且B⊆A。

• 1.1.3 集合的基本运算

  • 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
  • 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
  • 补集：CUA = {x | x∈U 且 x∉A}，其中U为全集。
  • 运算性质：交换律、结合律、分配律、德摩根定律。

1.2 常用逻辑用语

• 1.2.1 命题及其关系

  • 命题：可以判断真假的语句。
  • 真命题、假命题。
  • 简单命题、复合命题。
  • 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
  • 互逆命题、互否命题、互为逆否命题。
  • 原命题与逆否命题等价。

• 1.2.2 充分条件与必要条件

  • 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
  • 若p⇔q，则p是q的充分必要条件，或p与q等价。
  • 充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件。

• 1.2.3 逻辑联结词

  • 或(∨)：p∨q，只要p,q有一个为真，p∨q就为真；p,q都为假，p∨q才为假。
  • 且(∧)：p∧q，只有p,q都为真，p∧q才为真；p,q有一个为假，p∧q就为假。
  • 非(¬)：¬p，p为真，¬p为假；p为假，¬p为真。

• 1.2.4 全称量词与存在量词

  • 全称量词(∀)：所有、一切、任给等。
  • 全称命题：∀x∈M, p(x) （对M中所有x，p(x)成立）。
  • 存在量词(∃)：存在、至少有一个等。
  • 特称命题：∃x∈M, p(x) （存在M中的x，使得p(x)成立）。
  • 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

二、基本初等函数（I）

2.1 函数的概念与性质

• 2.1.1 函数

  • 定义：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。
  • 定义域、值域、对应关系。
  • 表示法：解析法、列表法、图像法。
  • 分段函数。

• 2.1.2 函数的表示

  • 解析式法：用含有自变量的数学式子表示函数关系。
  • 图像法：用坐标平面上的点集表示函数关系。
  • 列表法：列出表格来表示函数关系。

• 2.1.3 函数的单调性

  • 增函数：在某个区间上，当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)。
  • 减函数：在某个区间上，当x1 < x2时，f(x1) > f(x2)。
  • 单调区间：函数单调性的区间。
  • 单调性的证明：定义法（设值、作差、变形、定号、结论）。

• 2.1.4 函数的奇偶性

  • 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
  • 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
  • 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
  • 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

2.2 指数函数

• 2.2.1 指数与指数幂的运算

  • n次方根，根式。
  • 分数指数幂的意义。
  • 有理指数幂的运算性质。

• 2.2.2 指数函数及其性质

  • 定义：y = ax (a>0且a≠1)
  • 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
  • 性质：
    • 定义域：R
    • 值域：(0, +∞)
    • 恒过点(0, 1)
    • 单调性：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。

2.3 对数函数

• 2.3.1 对数

  • 定义：如果ax = N (a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = logaN。
  • 常用对数：lgN。
  • 自然对数：lnN。
  • 对数恒等式：alogaN = N。
  • 对数运算性质：loga(MN) = logaM + logaN; loga(M/N) = logaM - logaN; logaMn = nlogaM。
  • 换底公式：logab = logcb / logca (c>0且c≠1)。

• 2.3.2 对数函数及其性质

  • 定义：y = logax (a>0且a≠1)。
  • 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
  • 性质：
    • 定义域：(0, +∞)
    • 值域：R
    • 恒过点(1, 0)
    • 单调性：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。

2.4 函数的应用

• 2.4.1 函数与方程

  • 函数零点：使f(x) = 0的x值。
  • 零点存在性定理：若f(a)·f(b) < 0，则在(a, b)内存在零点。
  • 二分法求方程的近似解。

• 2.4.2 函数模型及其应用

  • 建立函数模型。
  • 求解函数模型。
  • 实际问题的解决。
  • 常见函数模型：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数。

三、总结

本思维导图涵盖了高一数学必修一的主要知识点，包括集合、常用逻辑用语、函数概念与性质、指数函数、对数函数以及函数的应用。理解这些知识点并掌握相应的解题方法，是学好高一数学的关键。 建议结合课本例题和习题进行复习，加深对知识点的理解和应用。