《小学六年级比的认识思维导图》

中心主题：比的认识

一级分支： 比的意义

• 核心概念： 两个数相除又叫两个数的比
  • 关键词： 相除, 两个数
  • 强调： 一种关系，表示两个数量之间的倍数关系或比例关系。
  • 例子： 苹果3个，梨子5个，苹果和梨子的比是3:5
• 比的读法： 读作“几比几”
  • 例子： 3:5 读作 三比五
• 比的写法： a:b (a ≠ 0, b ≠ 0)，中间的符号是“比号”
  • 比号： ":“， 不是除号
• 比的各部分名称：
  • 前项： 比号前面的数，例如a:b中的a
    • 注意： 前项可以为整数、小数、分数
  • 后项： 比号后面的数，例如a:b中的b
    • 注意： 后项不能为0，可以为整数、小数、分数
  • 比值： 前项除以后项所得的商，例如a:b的比值是 a/b (b≠0)
    • 计算： 前项 ÷ 后项 = 比值
    • 表示： 可以用整数、小数、分数表示

• 比与除法、分数的关系：

  • 对比表格：

  	比	除法	分数
  关系	一种关系	一种运算	一种数
  符号	:	÷	—
  各部分名称	前项:后项=比值	被除数÷除数=商	分子/分母=分数值

  • 联系： 比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子；比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母；比值相当于除法中的商，相当于分数的分数值。
  • 区别： 比表示两个数之间的关系，除法是一种运算，分数是一种数。

一级分支： 比的基本性质

• 定义： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 关键词： 同时，乘或除以，相同的数，0除外，比值不变
• 公式表示： a:b = (a×c):(b×c) = (a÷c):(b÷c) (c ≠ 0)
• 应用： 化简比、求比值
• 举例：
  • 6:8 = (6÷2):(8÷2) = 3:4
  • 1/2 : 1/4 = (1/2 × 4) : (1/4 × 4) = 2:1

一级分支： 化简比

• 定义： 把一个比化成最简单的整数比
  • 关键词： 最简单，整数比
  • 最简单整数比： 前项和后项都是整数，且它们互质（最大公因数为1）
• 方法：
  • 整数比： 找出前项和后项的最大公因数，然后同时除以最大公因数。
    • 例子： 12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3 (最大公因数是6)
  • 小数比： 先把前项和后项同时扩大相同的倍数，化成整数比，然后再化简。
    • 例子： 0.4:0.6 = (0.4×10):(0.6×10) = 4:6 = (4÷2):(6÷2) = 2:3
  • 分数比： 先把前项和后项同时乘以前项和后项分母的最小公倍数，化成整数比，然后再化简。
    • 例子： 1/3 : 1/4 = (1/3 × 12):(1/4 × 12) = 4:3 (最小公倍数是12)
• 步骤总结：
  1. 化整数 (适用于小数比和分数比)
  2. 找最大公因数（适用于整数比）/ 找到能约分的数（适用于整数比）
  3. 除以最大公因数/约分
  4. 检查是否为最简整数比

一级分支： 求比值

• 定义： 比的前项除以后项所得的商
  • 计算： 前项 ÷ 后项 = 比值
• 表示形式： 可以是整数、小数、分数
• 例子：
  • 3:5 的比值是 3/5
  • 0.6:0.2 的比值是 0.6 ÷ 0.2 = 3
• 与化简比的区别：
  • 目的不同： 求比值求的是一个数（商），化简比求的是一个最简单的比。
  • 结果不同： 求比值的结果是一个数，化简比的结果是一个比。
• 步骤： 直接用前项除以后项，得到结果，并化为最简形式。

一级分支： 比的应用

• 按比例分配： 把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 解题步骤：
    1. 求出总份数 (把比的前后项加起来)
    2. 求出每份的量 (用总数量除以总份数)
    3. 求出各部分对应的量 (用每份的量乘以对应的份数)
  • 公式： 各部分所占的份数 / 总份数 = 各部分对应的数量 / 总数量
  • 例子： 糖水重20克，糖和水的比是1:4，糖和水各有多少克？
    • 总份数：1+4=5
    • 每份的量：20 ÷ 5 = 4 克
    • 糖： 4 × 1 = 4 克
    • 水： 4 × 4 = 16 克
• 比例尺： 图上距离与实际距离的比。
  • 公式： 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
  • 应用： 地图、建筑图纸等
  • 注意： 单位要统一

延伸思考：

• 比在生活中的应用非常广泛，例如：调配饮料、计算速度、绘制地图等等。
• 更深入的理解比例，为后续学习正比例、反比例打下基础。