《立体及其交线的投影思维导图》

一、基本概念

• 投影:
  • 定义：光线或视线将物体投射到投影面上形成图形的方法。
  • 要素：投影中心（视点）、投影线、投影面、投影图。
  • 分类：
    • 中心投影：投影线汇聚于一点（投影中心），透视感强，变形大。
    • 平行投影：投影线平行，适用于工程图，变形较小。
      • 斜投影：投影线倾斜于投影面。
      • 正投影：投影线垂直于投影面。
• 投影面体系:
  • 三面投影体系：水平投影面(H)，垂直投影面(V)，侧面投影面(W)。
  • 投影图：主视图(V)，俯视图(H)，左视图(W)。
  • 轴测图：一种特殊的投影，能在一个图上大致表达物体的形状。
• 点的投影:
  • 点的三面投影：(x, y, z)对应(x, y), (x, z), (y, z)。
  • 点的重合性：同一点的三个投影点位于相互垂直的投影线上。
• 直线的投影:
  • 特殊位置直线：
    • 正垂线：垂直于H面，平行于V面和W面，H面投影为一个点。
    • 正平线：平行于H面，垂直于V面，平行于W面，V面投影为一个点。
    • 侧平线：平行于W面，垂直于V面，平行于H面，V面投影为一个点。
    • 水平线：平行于H面。
    • 正平线：平行于V面。
    • 侧平线：平行于W面。
  • 一般位置直线：
    • 一般位置直线在三个投影面上均为倾斜直线。
  • 直线上的点：点在直线上，则点的投影必在直线的相应投影上。
• 平面的投影:
  • 特殊位置平面：
    • 正垂面：垂直于H面，平行于V面和W面，H面投影为一条直线。
    • 正平⾯：垂直于V面，平行于H面和W面，V面投影为一条直线。
    • 侧平面：垂直于W面，平行于V面和H面，W面投影为一条直线。
    • 水平面：平行于H面。
    • 正平面：平行于V面。
    • 侧平面：平行于W面。
  • 一般位置平面：在三个投影面上均为倾斜面。
  • 平面上的直线：直线在平面上，则直线的投影必在平面的相应投影上。
• 辅助平面法:
  • 定义：通过引入辅助投影面，简化空间几何元素的投影关系，便于求解问题。
  • 方法：
    • 换面法：改变投影面位置，保持空间几何元素不变。
    • 旋转法：保持投影面位置不变，旋转空间几何元素。
• 真实长度和角度:
  • 直线的真实长度：利用直角三角形原理，在投影图中构建直角三角形，斜边为真实长度。
  • 直线与投影面的夹角：通过换面法或旋转法，将直线变换到平行于某投影面的位置，该直线与该投影面的夹角为真实角度。
  • 平面的真实形状：通过换面法，将平面变换到平行于某投影面的位置，该平面的投影即为真实形状。

二、立体

• 基本几何体:
  • 棱柱：两个底面平行且全等的多边形，侧面为平行四边形。
  • 棱锥：底面为多边形，侧面为有公共顶点的三角形。
  • 圆柱：由一个矩形绕其一边旋转而成。
  • 圆锥：由一个直角三角形绕其一直角边旋转而成。
  • 球：空间中到定点距离等于定长的点的集合。
• 截交线:
  • 平面截切立体：截平面与立体表面的交线。
  • 直线穿透立体：直线与立体表面的交点（贯穿点）。
• 表面取点:
  • 平面：直接根据平面上的点满足的条件进行取点。
  • 曲面：利用辅助素线法，在曲面上建立一组素线，通过素线取点。
  • 特殊曲面：圆柱面、圆锥面、球面等，可利用其生成方式取点。
• 辅助线选取原则:
  • 选取特殊位置的直线或平面，使其投影具有简易性。
  • 辅助线应尽量能够反映立体的形状特征。
  • 辅助线应尽量能够简化作图过程。

三、交线

• 平面与平面相交:
  • 一般位置平面：求交线较为复杂，通常采用辅助平面法。
  • 特殊位置平面：交线投影容易确定。
• 平面与曲面相交:
  • 辅助平面法：利用辅助平面切割曲面和平面，求出切割线的交点，连接交点即为交线。
    • 选择适当的辅助平面：选择特殊位置的辅助平面，例如水平面、正平面、侧平面。
    • 辅助平面组：通常需要一组辅助平面，以获得足够的交点来确定交线。
• 曲面与曲面相交:
  • 辅助曲面法：利用辅助曲面切割两个曲面，求出切割线的交点，连接交点即为交线。
  • 辅助平面法：同样适用，但往往需要选择多组辅助平面。
  • 相贯线：两个曲面相交形成的交线，常见于机械制图。
• 求解交线的步骤:
  1. 选择辅助面（平面或曲面）。
  2. 分别求出辅助面与两个立体表面的交线。
  3. 求出这些交线的交点，这些交点就是所求交线上的点。
  4. 连接这些交点，得到交线。
• 交线的可见性判断:
  • 根据投影规则，判断交线上的点在某一视图中的可见性。
  • 如果点在实体的可见表面上，则该点可见，否则不可见。
  • 交线的可见部分用实线表示，不可见部分用虚线表示。
• 特殊交线:
  • 直线：平面与平面相交。
  • 圆：平面与球体相交，当平面垂直于球心与投影面连线时。
  • 椭圆：平面与圆柱或圆锥斜交。
  • 双曲线、抛物线：平面与圆锥的特殊位置相交。

四、应用

• 工程制图: 用于表达复杂零件的形状和结构。
• 建筑设计: 用于表达建筑物的立面和内部结构。
• 机械设计: 用于表达机械零件的装配关系和运动轨迹。
• 三维建模: 为计算机辅助设计（CAD）软件提供理论基础。
• 透视绘画: 理解空间关系和物体的透视变形。
• 结构设计: 用于表达结构构件的空间位置和连接方式。

五、总结

投影法是立体几何和工程制图的重要基础，理解和掌握投影原理和方法，对于解决空间几何问题，提高空间想象能力至关重要。通过不断练习和实践，能够熟练运用投影法解决各种实际问题。 思维导图有助于整理知识结构，方便记忆和理解。