分数思维导图五上

《分数思维导图五上》

中心主题：分数

一、分数的意义

• 定义：
  • 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
  • 表示一个数是另一个数的几分之几。
• 单位“1”：
  • 可以是一个物体，一个计量单位，也可以是一些物体组成的一个整体。
• 分数单位：
  • 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。
  • 例如，5/8 的分数单位是1/8。
  • 分数单位是构成一切分数的基石。
• 分数与除法的关系：
  • a ÷ b = a/b (b≠0)
  • 被除数相当于分子，除数相当于分母。
  • 分数线相当于除号。
  • 强调：分数是一种数，除法是一种运算。
• 真分数、假分数和带分数：
  • 真分数： 分子小于分母的分数。真分数小于1。
  • 假分数： 分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于1。
  • 带分数： 整数部分 + 真分数 部分。带分数大于1。
  • 假分数化为带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为新的分子，分母不变。
  • 带分数化为假分数：(整数部分 × 分母 + 分子) / 分母

二、分数的性质

• 基本性质：
  • 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
  • 这是约分和通分的理论基础。
• 应用：
  • 约分：把一个分数化成最简分数。
    • 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。
    • 通常用最大公因数约分。
  • 通分：把几个分母不同的分数化成和原来分数相等的同分母分数。
    • 通常用最小公倍数作为公分母（即最简公分母）。
    • 目的是为了方便比较分数的大小和进行分数运算。

三、分数的大小比较

• 同分母分数： 分子大的分数大。
• 同分子分数： 分母小的分数大。
• 异分母分数：
  • 先通分，化成同分母分数，再比较分子的大小。
  • 也可以化成同分子分数，再比较分母的大小。
  • 还可以找一个中间数（如1/2，1等）进行比较。
• 带分数：
  • 先比较整数部分，整数部分大的分数大。
  • 如果整数部分相同，再比较分数部分的大小。

四、分数的运算

• 加法和减法：
  • 同分母分数：分母不变，分子相加减。
  • 异分母分数：先通分，化成同分母分数，再按同分母分数加减法的法则进行计算。
  • 结果能约分的要约成最简分数。
• 乘法：
  • 分数乘整数：分子和整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的要先约分，再计算。
  • 分数乘分数：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。能约分的要先约分，再计算。
• 除法：
  • 分数除以整数：分数乘这个整数的倒数。
  • 分数除以分数：分数乘除数的倒数。
• 混合运算：
  • 运算顺序与整数混合运算的顺序相同。
  • 有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
  • 先乘除，后加减。
• 简便运算：
  • 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法交换律：a × b = b × a

五、解决问题

• 求一个数是另一个数的几分之几： 用除法计算，被除数是被比较的数，除数是总数。
• 求一个数的几分之几是多少： 用乘法计算，这个数乘以几分之几。
• 稍复杂的求一个数的几分之几是多少的应用题： 关键是找准单位“1”，并分析清楚数量关系。
• 分数应用题的解题步骤：
  • 认真审题，弄清题意，找出已知条件和所求问题。
  • 分析数量关系，确定解题思路。
  • 列式计算，写出答语。
  • 检验解答是否正确。
• 单位换算： 注意不同单位间的换算关系，例如1米=100厘米，1千克=1000克等。

六、思维拓展

• 倒数的认识：
  • 乘积是1的两个数互为倒数。
  • 1的倒数是1，0没有倒数。
  • 求一个分数的倒数，只要把分数的分子和分母颠倒位置。
• 比的初步认识：
  • 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 比的各部分名称：前项 : 后项 = 比值
  • 比与分数、除法的联系与区别。
• 比例的初步认识:
  • 表示两个比相等的式子叫做比例.

总结： 分数是小学阶段数学的重要组成部分，理解分数的意义、掌握分数的性质和运算方法，对于后续学习代数、几何等内容至关重要。 要多做练习，善于总结，才能熟练运用分数知识解决实际问题。