《整式加减思维导图 初一》

I. 整式

A. 单项式

• 1. 定义: 由数与字母的乘积组成的代数式 (单独的一个数或字母也叫单项式)。
  • 例: 3x, -5y^2, a, 7, 0
• 2. 系数: 单项式中的数字因数。
  • 包括符号
  • 例: 3x 的系数是 3, -5y^2 的系数是 -5
• 3. 次数: 单项式中所有字母的指数的和。
  • 例: 3x 的次数是 1, -5y^2 的次数是 2, 7a^2b^3 的次数是 2+3=5
• 4. 注意点:
  • 分母中不能含有字母 (如 1/x 不是单项式)。
  • π (圆周率) 看作常数, 包含 π 的式子可以是单项式 (如 πr^2)。

B. 多项式

• 1. 定义: 几个单项式的和组成的代数式。
  • 例: x + y, 2a^2 - 3b + 1, x^2 + 2x + 1
• 2. 项: 多项式中的每个单项式。
  • 包括符号
  • 例: x + y 的项是 x 和 y, 2a^2 - 3b + 1 的项是 2a^2, -3b 和 1
• 3. 常数项: 不含字母的项。
  • 例: 2a^2 - 3b + 1 的常数项是 1
• 4. 次数: 多项式中次数最高的项的次数。
  • 例: x^2 + 2x + 1 的次数是 2, 2a^3b - 5a^2 + 7b 的次数是 4 (3+1)
• 5. 项数: 多项式中项的个数。
  • 例: x + y 的项数是 2, 2a^2 - 3b + 1 的项数是 3

C. 整式

• 1. 定义: 单项式和多项式统称为整式。
• 2. 包括:
  • 单项式
  • 多项式

II. 同类项

A. 定义

• 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。
  • 两个条件必须同时满足!
  • 例: 3x^2y 和 -5x^2y 是同类项, 2ab 和 -7ba 也是同类项, 3x^2y 和 3xy^2 不是同类项。
• 常数项也是同类项。
  • 例: 5 和 -3 是同类项。

B. 判定方法

• 1. 字母相同: 比较各单项式的字母部分，字母必须完全一致。
• 2. 指数相同: 对于相同的字母，其指数必须分别相同。
• 3. 与系数无关: 系数不同，不影响是否为同类项。
• 4. 与字母顺序无关: 字母顺序颠倒，只要字母和指数分别相同，仍为同类项 (如 ab 和 ba)。

III. 合并同类项

A. 定义

• 把多项式中的同类项合并成一项。

B. 法则

• 1. 系数相加: 同类项的系数相加，所得的结果作为合并后的系数。
• 2. 字母和指数不变: 字母和字母的指数不变。
• 3. 不是同类项的照抄: 没有同类项的项照抄下来。
• 例: 3x^2y - 5x^2y + 2xy^2 = (3-5)x^2y + 2xy^2 = -2x^2y + 2xy^2

C. 步骤

• 1. 找同类项: 准确找出多项式中的同类项（可以用相同的符号标记）。
• 2. 运用加法交换律、结合律将同类项结合在一起。
• 3. 合并同类项: 运用合并同类项法则合并同类项。

IV. 去括号与添括号

A. 去括号

• 1. 法则:
  • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
  • 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
• 2. 数学表达:
  • +(a + b) = a + b
  • -(a + b) = -a - b
  • +(a - b) = a - b
  • -(a - b) = -a + b
• 3. 注意点:
  • 括号前是 - 号，去掉括号后，括号内每一项都要变号。
  • 要准确判断括号前的符号是 + 还是 -。
  • 去括号时，括号内的每一项都要考虑，不能只改变部分项的符号。

B. 添括号

• 1. 法则:
  • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
  • 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
• 2. 数学表达:
  • a + b = +(a + b)
  • a - b = +(a - b)
  • a + b = -(-a - b)
  • a - b = -(-a + b)
• 3. 注意点:
  • 添括号实际上是去括号的逆运算，要根据需要灵活运用。
  • 添加括号后，括号前是 - 号，括号内每一项都要变号。

V. 整式的加减

A. 步骤

• 1. 去括号: 运用去括号法则，将式子中的括号去掉。
• 2. 找同类项: 准确找出同类项。
• 3. 合并同类项: 将同类项合并，得到最终结果。

B. 注意事项

• 1. 运算顺序: 按照先去括号，再合并同类项的顺序进行计算。
• 2. 符号问题: 去括号时要特别注意括号前的符号，确保变号正确。
• 3. 结果最简: 合并同类项后，结果应是最简形式，不再有同类项。
• 4. 多重括号: 遇到多重括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。也可以从外向内依次去括号。

C. 应用

• 1. 化简求值: 先化简整式，再代入数值进行计算。
• 2. 解决实际问题: 将实际问题转化为整式的加减运算。

VI. 总结

整式加减是初中数学的基础内容，需要熟练掌握单项式、多项式、同类项的概念，以及去括号和合并同类项的法则。 通过大量的练习，可以提高计算的准确性和速度，为后续的数学学习打下坚实的基础。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 小学生五年级数学思维导图