《人教七下数学思维导图》

一、整式的运算

1. 同底数幂的乘法

• 定义: 底数相同，指数不同的幂相乘
• 法则: a^m · aⁿ = a^m+n (m, n 都是正整数)
• 关键: 底数不变，指数相加
• 注意:
  • 底数可以是单项式，也可以是多项式
  • 底数不同时，先化为相同底数
• 例题:
  • x² · x³ = x⁵
  • (a+b)² · (a+b)³ = (a+b)⁵

2. 幂的乘方与积的乘方

• 幂的乘方
  • 定义: (a^m)ⁿ
  • 法则: (a^m)ⁿ = a^mn (m, n 都是正整数)
  • 关键: 底数不变，指数相乘
  • 例题: (x²)³ = x⁶
• 积的乘方
  • 定义: (ab)ⁿ
  • 法则: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 是正整数)
  • 关键: 把积的每一个因式分别乘方
  • 例题: (2x)³ = 2³x³ = 8x³
  • 推广: (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ

3. 同底数幂的除法

• 定义: 底数相同，指数不同的幂相除
• 法则: a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a≠0, m, n 都是正整数，且 m > n)
• 零指数幂: a⁰ = 1 (a≠0)
• 负整数指数幂: a^-p = 1/a^p (a≠0, p 是正整数)
• 关键: 底数不变，指数相减
• 注意: 除数不能为零
• 例题: x⁵ ÷ x² = x³

4. 整式的乘法

• 单项式乘以单项式: 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄
• 单项式乘以多项式: m(a+b+c) = ma + mb + mc
• 多项式乘以多项式: (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 注意:
  • 不要漏乘
  • 合并同类项

5. 乘法公式

• 平方差公式: (a+b)(a-b) = a² - b²
  • 特点: 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
  • 应用: 简化计算，因式分解
• 完全平方公式: (a±b)² = a² ± 2ab + b²
  • 特点: 两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍
  • 应用: 简化计算，配方法

6. 整式的除法

• 单项式除以单项式: 系数相除，同底数幂相除，单独字母照抄
• 多项式除以单项式: (a+b+c) ÷ m = a/m + b/m + c/m
• 注意: 除式不能为零

二、平行线的性质与判定

1. 平行线的定义

• 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

2. 平行公理及其推论

• 平行公理: 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
• 推论: 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

3. 平行线的判定

• 同位角相等，两直线平行
• 内错角相等，两直线平行
• 同旁内角互补，两直线平行

4. 平行线的性质

• 两直线平行，同位角相等
• 两直线平行，内错角相等
• 两直线平行，同旁内角互补

5. 平移

• 定义: 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移
• 性质:
  • 平移不改变图形的形状和大小
  • 经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等
  • 经过平移，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等
  • 经过平移，对应角相等

三、三角形

1. 三角形的概念

• 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
• 要素:
  • 边
  • 顶点
  • 内角
• 表示: △ABC

2. 三角形的分类

• 按角分:
  • 锐角三角形
  • 直角三角形
  • 钝角三角形
• 按边分:
  • 不等边三角形
  • 等腰三角形 (包括等边三角形)

3. 三角形的三边关系

• 三角形任意两边之和大于第三边
• 三角形任意两边之差小于第三边

4. 三角形的高、中线、角平分线

• 高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
• 中线: 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线
• 角平分线: 三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
• 特性: 三角形的三条高线交于一点，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点

5. 三角形的内角和

• 三角形的内角和等于180°

6. 三角形的外角

• 定义: 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角
• 性质:
  • 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
  • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角

7. 多边形及其内角和

• 定义: 由在同一平面内，不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
• 内角和公式: (n-2) · 180° (n为边数)
• 外角和: 多边形的外角和等于360°

四、变量之间的关系

1. 变量与常量

• 变量: 数值发生变化的量
• 常量: 数值始终不变的量

2. 函数

• 定义: 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
• 表示方法:
  • 关系式法 (y=f(x))
  • 列表法
  • 图像法

3. 函数图像

• 定义: 用图像来表示函数关系
• 作用: 直观地反映函数的变化趋势

4. 实际问题与函数

• 从实际问题中抽象出数学模型，用函数关系式或图像来描述
• 根据函数关系式或图像解决实际问题

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