《八上数学第二章思维导图》
I. 平方根
A. 定义与性质
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1. 定义：
- 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
- 表达式：若x² = a，则x叫做a的平方根，记作x = ±√a。
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2. 性质：
- 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 0的平方根是0。
- 负数没有平方根。
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3. 表示方法：
- 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a。
- a的负的平方根，记作 -√a。
- a的平方根，记作 ±√a。
B. 算术平方根
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1. 定义：
- 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a。
- √a ≥ 0 (a ≥ 0)
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2. 性质：
- 非负性：√a ≥ 0 (a ≥ 0)
- (√a)² = a (a ≥ 0)
- √(a²) = |a| = a (a ≥ 0); -a (a < 0)
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3. 求法：
- 估算法：适用于较大的数，通过估算逐渐逼近精确值。
- 计算器：利用计算器直接计算。
- 分解质因数：将被开方数分解为质因数的乘积，利用性质化简。
C. 平方根的应用
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1. 解方程：
- 解简单的一元二次方程，如x² = a (a ≥ 0)。
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2. 几何问题：
- 求正方形的边长、圆的半径等。
- 勾股定理中的应用，计算直角三角形的边长。
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3. 实际问题：
- 一些与面积、体积相关的问题。
II. 立方根
A. 定义与性质
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1. 定义：
- 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。
- 表达式：若x³ = a，则x叫做a的立方根，记作x = ∛a。
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2. 性质：
- 一个正数有一个正的立方根。
- 一个负数有一个负的立方根。
- 0的立方根是0。
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3. 表示方法：
- a的立方根，记作 ∛a。
B. 立方根的求法
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1. 计算器：
- 利用计算器直接计算。
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2. 分解质因数：
- 将被开方数分解为质因数的乘积，利用性质化简。
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3. 特殊值的记忆：
- 记忆一些常用数的立方根，如∛8 = 2，∛27 = 3等。
C. 立方根的应用
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1. 解方程：
- 解简单的一元三次方程，如x³ = a。
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2. 几何问题：
- 求正方体的边长等。
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3. 实际问题：
- 一些与体积相关的问题。
III. 实数
A. 定义与分类
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1. 定义：
- 有理数和无理数统称为实数。
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2. 分类：
- 按定义分：
- 实数 { 有理数 { 整数 { 正整数, 0, 负整数 }, 分数 { 正分数, 负分数 } } , 无理数 { 正无理数, 负无理数 } }
- 按正负分：
- 实数 { 正实数, 0, 负实数 }
- 按定义分：
B. 有理数
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1. 定义：
- 可以表示成 p/q (p, q为整数且q≠0) 形式的数。
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2. 种类：
- 整数：正整数、0、负整数
- 分数：正分数、负分数
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3. 特点：
- 有限小数或无限循环小数。
C. 无理数
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1. 定义：
- 无限不循环小数。
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2. 种类：
- 开方开不尽的数，如√2, ∛5等。
- π及含π的式子，如 π/2, 2π等。
- 特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）。
D. 实数的性质
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1. 大小比较：
- 数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大。
- 正数 > 0 > 负数
- 两个负数，绝对值大的反而小。
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2. 运算：
- 实数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方运算。
- 运算顺序与有理数相同。
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3. 对应关系：
- 实数与数轴上的点一一对应。
E. 实数的运算
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1. 运算律：
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律：a × b = b × a
- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
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2. 运算顺序：
- 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的，先算括号里面的。
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3. 运算技巧：
- 灵活运用运算律进行简便计算。
- 注意符号的确定。
- 无理数的运算结果通常保留根号。
IV. 总结
- 平方根、立方根是重要的数学概念，是后续学习的基础。
- 实数的学习，将数扩展到无理数，使数的范围更加完善。
- 熟练掌握平方根、立方根的计算和实数的运算，是解决数学问题的关键。