《整式的乘除思维导图七下初一》

一、幂的运算

1. 同底数幂的乘法

• 法则： a^m * aⁿ = a^m+n (m, n 为正整数)
• 核心： 底数不变，指数相加
• 注意：
  • 底数必须相同
  • 运算符号是乘法
  • 可以推广到多个同底数幂相乘： a^m aⁿ a^p = a^m+n+p
• 例题：
  • x² * x³ = x⁵
  • (-a)² * (-a)³ = (-a)⁵ = -a⁵ (注意符号)
  • (x+y)³ * (x+y)² = (x+y)⁵ (整体思想)

2. 幂的乘方

• 法则： (a^m)ⁿ = a^mn (m, n 为正整数)
• 核心： 底数不变，指数相乘
• 注意：
  • 幂的乘方与同底数幂的乘法容易混淆，注意区分
• 例题：
  • (x²)³ = x⁶
  • [(a+b)²]³ = (a+b)⁶
  • • (a²)³ = - a⁶ (注意符号)

3. 积的乘方

• 法则： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 为正整数)
• 核心： 将积中的每个因式分别乘方
• 注意：
  • 推广： (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ
• 例题：
  • (2x)³ = 2³x³ = 8x³
  • (-3xy)² = (-3)²x²y² = 9x²y²
  • ( -a²b )³ = (-1)³(a²)³b³ = -a⁶b³

4. 同底数幂的除法

• 法则： a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m, n 为正整数, m > n)
• 核心： 底数不变，指数相减
• 注意：
  • 底数不能为0
  • 必须是同底数幂相除
  • 除法转化为乘法
• 例题：
  • x⁵ ÷ x² = x³
  • (a+b)⁷ ÷ (a+b)³ = (a+b)⁴
  • (-x)⁵ ÷ (-x)² = (-x)³ = -x³ (注意符号)

5. 零次幂与负整数指数幂

• 零次幂： a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• 负整数指数幂： a^-n = 1/aⁿ (a ≠ 0, n 为正整数)
• 注意：
  • 底数不能为0
  • 任何非零数的0次幂都等于1
  • 负指数幂表示倒数
• 例题：
  • 5⁰ = 1
  • (-2)⁰ = 1
  • x^-2 = 1/x²
  • (a+b)^-1 = 1/(a+b)

二、整式的乘法

1. 单项式乘以单项式

• 法则： 系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
• 步骤：
  1. 系数相乘
  2. 相同字母的幂相乘
  3. 其余字母照抄
• 例题：
  • (2x²y) * (3xy³) = 6x³y⁴
  • (-5ab²) * (2a³) = -10a⁴b²

2. 单项式乘以多项式

• 法则： m(a+b+c) = ma + mb + mc
• 步骤：
  1. 将单项式分别乘以多项式的每一项
  2. 将所得的积相加
• 注意：
  • 不要漏乘
  • 注意符号
• 例题：
  • 2x(x² + 3x - 1) = 2x³ + 6x² - 2x
  • -3a(2a² - a + 4) = -6a³ + 3a² - 12a

3. 多项式乘以多项式

• 法则： (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 步骤：
  1. 用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项
  2. 将所得的积相加
• 注意：
  • 不要漏乘
  • 注意符号
  • 合并同类项
• 例题：
  • (x+2)(x+3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
  • (2a-1)(a-2) = 2a² - 4a - a + 2 = 2a² - 5a + 2

三、乘法公式

1. 平方差公式

• 公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
• 特点：
  • 两个数的和乘以这两个数的差
  • 结果是这两个数的平方差
• 例题：
  • (x+3)(x-3) = x² - 9
  • (2a+1)(2a-1) = 4a² - 1
  • (a+b+1)(a+b-1) = (a+b)² - 1 = a² + 2ab + b² - 1

2. 完全平方公式

• 公式： (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 特点：
  • 两个数的和（差）的平方
  • 结果是这两个数的平方和加上（减去）这两数积的2倍
• 例题：
  • (x+2)² = x² + 4x + 4
  • (3a-1)² = 9a² - 6a + 1
  • (-a-b)² = [-(a+b)]² = (a+b)² = a² + 2ab + b²

四、整式的除法

1. 单项式除以单项式

• 法则： 把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
• 步骤：
  1. 系数相除
  2. 同底数幂相除
  3. 其余字母照抄
• 例题：
  • 12x³y² ÷ 3xy = 4x²y
  • -15a⁴b³ ÷ 5a²b = -3a²b²

2. 多项式除以单项式

• 法则： (ma + mb + mc) ÷ m = a + b + c
• 步骤：
  1. 将多项式的每一项分别除以单项式
  2. 将所得的商相加
• 注意：
  • 不要漏除
  • 注意符号
• 例题：
  • (6x³ + 9x² - 3x) ÷ 3x = 2x² + 3x - 1
  • (10a⁴b - 5a²b² + 15ab³) ÷ 5ab = 2a³ - ab + 3b²

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