《整式加减乘除思维导图》
I. 整式
A. 定义
- 单项式:
- 系数:数字因数(包括符号)
- 次数:所有字母的指数和
- 单独一个数或一个字母也是单项式
- 多项式:
- 项:多项式中每个单项式
- 常数项:不含字母的项
- 次数:最高次项的次数
- 多项式没有系数
- 整式:单项式和多项式的统称
B. 同类项
- 定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项
- 合并同类项:
- 法则:系数相加,字母及字母的指数不变
- 步骤:找(找同类项),移(将同类项移到一起,注意符号),并(合并同类项),查(检查是否合并干净)
II. 整式的加减
A. 本质:合并同类项
B. 法则
- 去括号:
- 括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变号
- 括号前是“−”号,把括号和它前面的“−”号去掉,括号里各项都变号
- 合并同类项
C. 步骤
- 先去括号
- 找同类项
- 合并同类项
- 化简求值(如果需要)
D. 注意事项
- 注意去括号时的符号变化
- 合并同类项时,只合并系数,字母及字母的指数不变
- 化简结果要最简
III. 整式的乘法
A. 单项式乘单项式
- 法则:系数相乘,相同字母相乘,不同字母照抄
- 注意:系数包括符号;相同字母相乘用同底数幂的乘法;结果仍是单项式
B. 单项式乘多项式
- 法则:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
- m(a+b+c) = ma + mb + mc
- 注意:
- 不要漏乘
- 注意符号
- 结果是多项式
C. 多项式乘多项式
- 法则:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加
- (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
- 注意:
- 不要漏乘
- 注意符号
- 合并同类项,结果要最简
D. 乘法公式
- 平方差公式:(a+b)(a-b) = a² - b²
- 特征:两数和与这两数差的积
- 结果:这两数的平方差
- 完全平方公式:(a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²
- 特征:两数和(或差)的平方
- 结果:这两数的平方和加上(或减去)这两数积的二倍
E. 幂的运算性质
- 同底数幂的乘法:aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n 为正整数)
- 幂的乘方:(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n 为正整数)
- 积的乘方:(ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 为正整数)
IV. 整式的除法
A. 同底数幂的除法
- 法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n 为正整数, m>n)
- 规定:a⁰ = 1 (a≠0); a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a≠0, p为正整数)
B. 单项式除以单项式
- 法则:系数相除,相同字母相除,只在被除式里的字母照抄
- 注意:系数包括符号;相同字母相除用同底数幂的除法;结果仍是单项式
C. 多项式除以单项式
- 法则:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加
- (am+bm+cm) ÷ m = a + b + c (m≠0)
- 注意:不要漏除;注意符号
D. 注意事项
- 除数不能为零
- 先确定符号
- 结果要最简
V. 因式分解(可选,视教学大纲而定)
A. 定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式。
B. 方法
- 提公因式法
- 步骤:找公因式,提公因式
- 公式法
- 平方差公式:a² - b² = (a+b)(a-b)
- 完全平方公式:a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²
C. 注意事项
- 分解要彻底
- 检查是否分解正确