《三角函数思维导图高一必修一》

中心主题：三角函数

• 一、角的概念的推广

  • 1. 任意角：
       • 定义：由一条射线绕其端点旋转所形成的角。
       • 正角、负角、零角：区分旋转方向与大小。
       • 象限角：终边落在哪个象限就称为什么象限角。注意与角度范围对应。
       • 轴线角：终边落在坐标轴上的角。
  • 2. 弧度制：
       • 定义：以弧长等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角。
       • 角度与弧度的换算：180° = π rad， 1 rad = (180/π)°
       • 弧长公式：l = |α|r (α为弧度)
       • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

• 二、三角函数的定义

  • 1. 任意角的三角函数：
       • 在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P(x, y)，r = √(x² + y²) > 0。
       • 正弦函数：sin α = y/r
       • 余弦函数：cos α = x/r
       • 正切函数：tan α = y/x (x ≠ 0)
       • 各象限符号判定：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
  • 2. 单位圆：
       • 概念：半径为1的圆。
       • 作用：形象理解三角函数值，简化计算，观察三角函数线的变化。
  • 3. 三角函数线：
       • 正弦线：MP (M为终边与单位圆交点，P为x轴上的垂足)
       • 余弦线：OM (O为原点，M为终边与单位圆交点)
       • 正切线：AT (A为(1,0)，T为终边与过A的切线的交点)
       • 作用：几何直观地表示三角函数值，比较大小，解不等式。

• 三、同角三角函数的基本关系

  • 1. 平方关系： sin²α + cos²α = 1
       • 变式：sin²α = 1 - cos²α , cos²α = 1 - sin²α
  • 2. 商的关系： tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
  • 3. 倒数关系： tan α · cot α = 1, sin α · csc α = 1, cos α · sec α = 1
  • 4. 应用：
       • 已知一个三角函数值，求其他三角函数值（注意象限，确定符号）。
       • 化简三角函数式。
       • 证明三角恒等式。

• 四、三角函数的诱导公式

  • 1. 公式一： sin(α + 2kπ) = sin α, cos(α + 2kπ) = cos α, tan(α + 2kπ) = tan α (k ∈ Z)
  • 2. 公式二： sin(π + α) = -sin α, cos(π + α) = -cos α, tan(π + α) = tan α
  • 3. 公式三： sin(-α) = -sin α, cos(-α) = cos α, tan(-α) = -tan α
  • 4. 公式四： sin(π - α) = sin α, cos(π - α) = -cos α, tan(π - α) = -tan α
  • 5. 公式五： sin(π/2 - α) = cos α, cos(π/2 - α) = sin α
  • 6. 公式六： sin(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sin α
  • 7. 口诀： 奇变偶不变，符号看象限。（针对π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α）
  • 8. 应用：
       • 化简任意角的三角函数为锐角三角函数。
       • 解决与周期性有关的问题。

• 五、三角函数的图像与性质

  • 1. 正弦函数 y = sin x：
       • 定义域：R
       • 值域：[-1, 1]
       • 周期性：T = 2π
       • 奇偶性：奇函数
       • 单调性：[2kπ - π/2, 2kπ + π/2]单调递增，[2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2]单调递减 (k ∈ Z)
       • 对称性：关于点(kπ, 0)中心对称，关于直线 x = kπ + π/2 轴对称 (k ∈ Z)
       • 图像：正弦曲线。掌握五点作图法。
  • 2. 余弦函数 y = cos x：
       • 定义域：R
       • 值域：[-1, 1]
       • 周期性：T = 2π
       • 奇偶性：偶函数
       • 单调性：[2kπ, 2kπ + π]单调递减，[2kπ - π, 2kπ]单调递增 (k ∈ Z)
       • 对称性：关于点(kπ + π/2, 0)中心对称，关于直线 x = kπ 轴对称 (k ∈ Z)
       • 图像：余弦曲线。掌握五点作图法。
  • 3. 正切函数 y = tan x：
       • 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}
       • 值域：R
       • 周期性：T = π
       • 奇偶性：奇函数
       • 单调性：在(kπ - π/2, kπ + π/2)单调递增 (k ∈ Z)
       • 对称性：关于点(kπ/2, 0)中心对称 (k ∈ Z)
       • 图像：正切曲线。注意渐近线。
  • 4. 函数 y = Asin(ωx + φ)：
       • A：振幅，决定最大值和最小值。
       • ω：角频率，决定周期：T = 2π/|ω|。
       • φ：初相，决定图像的左右平移：左加右减。
       • 图像变换：平移、伸缩。注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别。

• 六、三角函数的简单应用

  • 1. 解三角形：
       • 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
       • 余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA
       • 面积公式：S = (1/2)bc sinA = (1/2)ab sinC = (1/2)ac sinB = (1/2)ah (h为a边上的高)
  • 2. 实际问题：
       • 测量高度、距离、角度等。
       • 建模：将实际问题转化为三角函数问题。
       • 注意仰角、俯角、方位角等概念的理解。

关键点总结：

• 理解角的概念推广，包括正角、负角、零角、象限角和轴线角。
• 熟练掌握角度制与弧度制的转换。
• 掌握任意角的三角函数定义，并在单位圆中理解其几何意义。
• 熟练运用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简和证明。
• 理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性）。
• 掌握函数 y = Asin(ωx + φ) 的图像变换。
• 灵活运用正弦定理和余弦定理解三角形，解决实际问题。

学习方法建议：

• 注重基础知识的理解和掌握，特别是概念的定义和公式的推导。
• 多做练习，熟练运用公式和方法。
• 注意数形结合，利用图像理解和解决问题。
• 善于总结和归纳，形成自己的知识体系。
• 积极思考，培养解决实际问题的能力。