三角函数思维导图高中

《三角函数思维导图高中》

一、角的概念的推广与弧度制

• 1.1 角的概念

  • 1.1.1 定义： 从一条射线绕着端点旋转形成的图形
  • 1.1.2 角的分类：
    • 正角： 逆时针旋转
    • 负角： 顺时针旋转
    • 零角： 不旋转
  • 1.1.3 象限角： 角的终边所在的象限
    • 象限角的集合表示： (利用k*360°+α表示)
  • 1.1.4 终边相同的角： k*360°+α（k∈Z）

• 1.2 弧度制

  • 1.2.1 定义： 以弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad
  • 1.2.2 弧度与角度的换算：
    • 360° = 2π rad
    • 180° = π rad
    • 1° = π/180 rad
    • 1 rad = (180/π)°
  • 1.2.3 弧长公式： l = |α|r (α为弧度)
  • 1.2.4 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

二、三角函数的定义

• 2.1 定义

  • 2.1.1 单位圆定义：
    • 设P(x, y)是角α终边与单位圆的交点
    • sin α = y
    • cos α = x
    • tan α = y/x (x≠0)
  • 2.1.2 直角三角形定义：
    • sin α = 对边/斜边
    • cos α = 邻边/斜边
    • tan α = 对边/邻边
  • 2.1.3 各象限三角函数值的符号：
    • 一全正
    • 二正弦
    • 三正切
    • 四余弦

• 2.2 同角三角函数的关系

  • 2.2.1 平方关系： sin²α + cos²α = 1
  • 2.2.2 商数关系： tan α = sin α / cos α
  • 2.2.3 倒数关系： cot α = 1/tan α

三、三角函数的图像与性质

• 3.1 正弦函数 y = sin x

  • 3.1.1 图像： 正弦曲线
  • 3.1.2 定义域： R
  • 3.1.3 值域： [-1, 1]
  • 3.1.4 周期性： T = 2π
  • 3.1.5 奇偶性： 奇函数
  • 3.1.6 单调性：
    • 在[-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k∈Z)上单调递增
    • 在[(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k∈Z)上单调递减
  • 3.1.7 对称性：
    • 对称轴：x = (π/2) + kπ (k∈Z)
    • 对称中心：(kπ, 0) (k∈Z)

• 3.2 余弦函数 y = cos x

  • 3.2.1 图像： 余弦曲线
  • 3.2.2 定义域： R
  • 3.2.3 值域： [-1, 1]
  • 3.2.4 周期性： T = 2π
  • 3.2.5 奇偶性： 偶函数
  • 3.2.6 单调性：
    • 在[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)上单调递减
    • 在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z)上单调递增
  • 3.2.7 对称性：
    • 对称轴：x = kπ (k∈Z)
    • 对称中心：((π/2) + kπ, 0) (k∈Z)

• 3.3 正切函数 y = tan x

  • 3.3.1 图像： 正切曲线
  • 3.3.2 定义域： {x | x ≠ (π/2) + kπ, k∈Z}
  • 3.3.3 值域： R
  • 3.3.4 周期性： T = π
  • 3.3.5 奇偶性： 奇函数
  • 3.3.6 单调性： 在(-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k∈Z)上单调递增
  • 3.3.7 对称中心： (kπ, 0) (k∈Z)

• 3.4 函数 y = Asin(ωx + φ)

  • 3.4.1 振幅： |A|
  • 3.4.2 周期： T = 2π/|ω|
  • 3.4.3 频率： f = 1/T = |ω|/2π
  • 3.4.4 相位： ωx + φ
  • 3.4.5 初相： φ
  • 3.4.6 图象变换：
    • 左右平移：φ影响
    • 上下平移：加减常数
    • 伸缩变换：A和ω影响

四、三角恒等变换

• 4.1 和角与差角公式

  • 4.1.1 sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
  • 4.1.2 cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
  • 4.1.3 tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)

• 4.2 倍角公式

  • 4.2.1 sin 2α = 2 sin α cos α
  • 4.2.2 cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • 4.2.3 tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan²α)

• 4.3 半角公式 (很少直接使用，常用辅助角)

  • sin(α/2) = ±√[(1 - cos α)/2]
  • cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]
  • tan(α/2) = ±√[(1 - cos α)/(1 + cos α)] = sin α/(1+cos α) = (1-cos α)/sin α

• 4.4 万能公式 (一般不用，避免分母为0)

  • sin α = (2tan(α/2))/(1 + tan²(α/2))
  • cos α = (1 - tan²(α/2))/(1 + tan²(α/2))
  • tan α = (2tan(α/2))/(1 - tan²(α/2))

• 4.5 积化和差与和差化积 (了解即可)

• 4.6 辅助角公式：

  • asinx + bcosx = √(a²+b²)sin(x+φ) 其中tanφ = b/a

五、解三角形

• 5.1 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)

• 5.2 余弦定理：

  • a² = b² + c² - 2bc cosA
  • b² = a² + c² - 2ac cosB
  • c² = a² + b² - 2ab cosC

• 5.3 面积公式： S = (1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB

• 5.4 解三角形类型：

  • 已知两角和一边： 正弦定理
  • 已知两边和一角的对边： 正弦定理 (注意解的个数判断)
  • 已知两边和一角的夹角： 余弦定理
  • 已知三边： 余弦定理

六、三角函数的应用

• 6.1 简单三角方程

  • sin x = a, cos x = a, tan x = a (注意解的周期性)

• 6.2 实际问题中的应用：

  • 测量高度、距离、角度等
  • 物理中的简谐运动等
  • 建立三角函数模型解决实际问题

• 6.3 注意事项

  • 单位统一（角度制与弧度制）
  • 注意角的范围
  • 注意解的个数的讨论
  • 灵活运用三角公式进行化简和计算
  • 数形结合的思想
  • 转化与化归的思想