三角函数思维导图高中

## 《三角函数思维导图高中》 ### 一、角的概念的推广与弧度制 * **1.1 角的概念** * **1.1.1 定义：** 从一条射线绕着端点旋转形成的图形 * **1.1.2 角的分类：** * **正角：** 逆时针旋转 * **负角：** 顺时针旋转 * **零角：** 不旋转 * **1.1.3 象限角：** 角的终边所在的象限 * **象限角的集合表示：** (利用k*360°+α表示) * **1.1.4 终边相同的角：** k*360°+α（k∈Z） * **1.2 弧度制** * **1.2.1 定义：** 以弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad * **1.2.2 弧度与角度的换算：** * 360° = 2π rad * 180° = π rad * 1° = π/180 rad * 1 rad = (180/π)° * **1.2.3 弧长公式：** l = |α|r (α为弧度) * **1.2.4 扇形面积公式：** S = (1/2)lr = (1/2)|α|r² ### 二、三角函数的定义 * **2.1 定义** * **2.1.1 单位圆定义：** * 设P(x, y)是角α终边与单位圆的交点 * sin α = y * cos α = x * tan α = y/x (x≠0) * **2.1.2 直角三角形定义：** * sin α = 对边/斜边 * cos α = 邻边/斜边 * tan α = 对边/邻边 * **2.1.3 各象限三角函数值的符号：** * 一全正 * 二正弦 * 三正切 * 四余弦 * **2.2 同角三角函数的关系** * **2.2.1 平方关系：** sin²α + cos²α = 1 * **2.2.2 商数关系：** tan α = sin α / cos α * **2.2.3 倒数关系：** cot α = 1/tan α ### 三、三角函数的图像与性质 * **3.1 正弦函数 y = sin x** * **3.1.1 图像：** 正弦曲线 * **3.1.2 定义域：** R * **3.1.3 值域：** [-1, 1] * **3.1.4 周期性：** T = 2π * **3.1.5 奇偶性：** 奇函数 * **3.1.6 单调性：** * 在[-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k∈Z)上单调递增 * 在[(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k∈Z)上单调递减 * **3.1.7 对称性：** * 对称轴：x = (π/2) + kπ (k∈Z) * 对称中心：(kπ, 0) (k∈Z) * **3.2 余弦函数 y = cos x** * **3.2.1 图像：** 余弦曲线 * **3.2.2 定义域：** R * **3.2.3 值域：** [-1, 1] * **3.2.4 周期性：** T = 2π * **3.2.5 奇偶性：** 偶函数 * **3.2.6 单调性：** * 在[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)上单调递减 * 在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z)上单调递增 * **3.2.7 对称性：** * 对称轴：x = kπ (k∈Z) * 对称中心：((π/2) + kπ, 0) (k∈Z) * **3.3 正切函数 y = tan x** * **3.3.1 图像：** 正切曲线 * **3.3.2 定义域：** {x | x ≠ (π/2) + kπ, k∈Z} * **3.3.3 值域：** R * **3.3.4 周期性：** T = π * **3.3.5 奇偶性：** 奇函数 * **3.3.6 单调性：** 在(-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k∈Z)上单调递增 * **3.3.7 对称中心：** (kπ, 0) (k∈Z) * **3.4 函数 y = Asin(ωx + φ)** * **3.4.1 振幅：** |A| * **3.4.2 周期：** T = 2π/|ω| * **3.4.3 频率：** f = 1/T = |ω|/2π * **3.4.4 相位：** ωx + φ * **3.4.5 初相：** φ * **3.4.6 图象变换：** * 左右平移：φ影响 * 上下平移：加减常数 * 伸缩变换：A和ω影响 ### 四、三角恒等变换 * **4.1 和角与差角公式** * **4.1.1 sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β** * **4.1.2 cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β** * **4.1.3 tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)** * **4.2 倍角公式** * **4.2.1 sin 2α = 2 sin α cos α** * **4.2.2 cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α** * **4.2.3 tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan²α)** * **4.3 半角公式 (很少直接使用，常用辅助角)** * sin(α/2) = ±√[(1 - cos α)/2] * cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2] * tan(α/2) = ±√[(1 - cos α)/(1 + cos α)] = sin α/(1+cos α) = (1-cos α)/sin α * **4.4 万能公式 (一般不用，避免分母为0)** * sin α = (2tan(α/2))/(1 + tan²(α/2)) * cos α = (1 - tan²(α/2))/(1 + tan²(α/2)) * tan α = (2tan(α/2))/(1 - tan²(α/2)) * **4.5 积化和差与和差化积 (了解即可)** * **4.6 辅助角公式：** * asinx + bcosx = √(a²+b²)sin(x+φ) 其中tanφ = b/a ### 五、解三角形 * **5.1 正弦定理：** a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径) * **5.2 余弦定理：** * a² = b² + c² - 2bc cosA * b² = a² + c² - 2ac cosB * c² = a² + b² - 2ab cosC * **5.3 面积公式：** S = (1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB * **5.4 解三角形类型：** * **已知两角和一边：** 正弦定理 * **已知两边和一角的对边：** 正弦定理 (注意解的个数判断) * **已知两边和一角的夹角：** 余弦定理 * **已知三边：** 余弦定理 ### 六、三角函数的应用 * **6.1 简单三角方程** * sin x = a, cos x = a, tan x = a (注意解的周期性) * **6.2 实际问题中的应用：** * 测量高度、距离、角度等 * 物理中的简谐运动等 * 建立三角函数模型解决实际问题 * **6.3 注意事项** * 单位统一（角度制与弧度制） * 注意角的范围 * 注意解的个数的讨论 * 灵活运用三角公式进行化简和计算 * 数形结合的思想 * 转化与化归的思想

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