《初中八年级数学思维导图》
I. 代数部分
A. 整式的乘除与因式分解
- 1. 幂的运算：
- a^m * a^n = a^(m+n) (同底数幂相乘)
- 底数相同，指数相加
- 例：2^3 * 2^2 = 2^5 = 32
- (a^m)^n = a^(mn) (幂的乘方)
- 指数相乘
- 例：(2^2)^3 = 2^6 = 64
- (ab)^n = a^n * b^n (积的乘方)
- 每个因式分别乘方
- 例：(23)^2 = 2^2 3^2 = 4 * 9 = 36
- a^m / a^n = a^(m-n) (同底数幂相除)
- 底数相同，指数相减 (a≠0, m>n)
- 例：2^5 / 2^2 = 2^3 = 8
- a^0 = 1 (a≠0) (零指数幂)
- a^(-p) = 1/a^p (a≠0) (负指数幂)
- a^m * a^n = a^(m+n) (同底数幂相乘)
- 2. 整式的乘法：
- 单项式 * 单项式
- 系数相乘，相同字母的幂相乘，单独字母照抄
- 例：2x^2y * 3xy^3 = 6x^3y^4
- 单项式 * 多项式
- m(a+b+c) = ma + mb + mc
- 例：2x(x^2 + 3x - 1) = 2x^3 + 6x^2 - 2x
- 多项式 * 多项式
- (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
- 例：(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6
- 单项式 * 单项式
- 3. 乘法公式：
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
- 两数和乘以两数差，等于两数平方差
- 完全平方公式：(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2
- 两数和(差)的平方，等于两数平方和加上(减去)两倍的积
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
- 4. 整式的除法：
- 单项式 / 单项式
- 系数相除，相同字母的幂相除，单独字母照抄
- 例：6x^3y^4 / 2xy^3 = 3x^2y
- 多项式 / 单项式
- (a+b+c) / m = a/m + b/m + c/m
- 例：(2x^3 + 6x^2 - 2x) / 2x = x^2 + 3x - 1
- 单项式 / 单项式
- 5. 因式分解：
- 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
- 方法：
- 提取公因式法：ma + mb + mc = m(a+b+c)
- 运用公式法：
- 平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
- 完全平方公式：a^2 ± 2ab + b^2 = (a±b)^2
- 十字相乘法 (简单尝试，可能超出八年级范围)
- 因式分解步骤：先提取公因式，再运用公式。
B. 分式
- 1. 分式的概念：
- 形如A/B的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母。 B≠0 分式才有意义
- 2. 分式的基本性质：
- A/B = (AC) / (BC) (C≠0)
- A/B = (A/C) / (B/C) (C≠0)
- 3. 分式的运算：
- 分式的乘法：A/B C/D = (AC) / (B*D)
- 分式的除法：A/B / C/D = (A/B) (D/C) = (AD) / (B*C) (C≠0)
- 分式的加减法：
- 同分母：A/C ± B/C = (A±B)/C
- 异分母：先通分，再计算
- 4. 分式方程：
- 定义：分母中含有未知数的方程。
- 解分式方程：
- 去分母（方程两边同乘最简公分母）
- 解整式方程
- 检验（增根）：把求出的根代入最简公分母，使分母不为0的是方程的根，否则是增根，舍去。
II. 几何部分
A. 三角形
- 1. 三角形的边：
- 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 2. 三角形的角：
- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
- 三角形的外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 3. 特殊三角形：
- 等腰三角形：
- 两腰相等，两底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
- 等边三角形：
- 三边相等，三个内角都等于60°。
- 直角三角形：
- 两个锐角互余，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
- 勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 (a,b为直角边，c为斜边)
- 勾股定理逆定理：如果三角形三边满足 a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是直角三角形。
- 等腰三角形：
- 4. 三角形全等的判定：
- SSS (边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS (边角边)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA (角边角)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS (角角边)：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 5. 角平分线的性质：
- 角平分线上的点到角的两边距离相等。
- 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
B. 全等三角形
- 见三角形全等的判定
C. 轴对称图形
- 1. 轴对称的概念：
- 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
- 2. 轴对称的性质：
- 对称轴是对应点连线的垂直平分线。
- 对应线段相等，对应角相等。
- 3. 特殊图形的轴对称：
- 线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、圆等都是轴对称图形。
- 4. 线段的垂直平分线的性质：
- 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
- 到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
III. 数据分析初步
A. 平均数
- 1. 算术平均数：
- x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n
- 2. 加权平均数：
- x̄ = (x1f1 + x2f2 + ... + xnfn) / (f1 + f2 + ... + fn) (f为权重)
B. 众数
- 在一组数据中，出现次数最多的数据。
C. 中位数
- 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据。
- 当数据个数为奇数时，中位数是中间的那个数。
- 当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
D. 方差
- 衡量一组数据的离散程度。
- s^2 = [(x1 - x̄)^2 + (x2 - x̄)^2 + ... + (xn - x̄)^2] / n
E. 标准差
- 方差的算术平方根。
- s = √s^2