高一三角函数思维导图
《高一三角函数思维导图》
一、 角的概念的推广
1.1 任意角
- 定义： 由一条射线绕其端点旋转形成的角。
- 正角、负角、零角：
- 正角：逆时针旋转形成的角。
- 负角：顺时针旋转形成的角。
- 零角：射线未作任何旋转。
- 象限角： 角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。
- 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以表示为：{β | β = α + k·360°, k ∈ Z}
1.2 弧度制
- 定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
- 角度与弧度的换算：
- 360° = 2π rad
- 180° = π rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = (180/π)°
- 弧长公式： l = |α|r (l为弧长，r为半径，α为弧度角)
- 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
二、 三角函数的定义
2.1 任意角的三角函数
- 定义： 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x, y)，r = √(x² + y²) > 0
- 正弦：sin α = y/r
- 余弦：cos α = x/r
- 正切：tan α = y/x (x ≠ 0)
- 余切：cot α = x/y (y ≠ 0)
- 正割：sec α = r/x (x ≠ 0)
- 余割：csc α = r/y (y ≠ 0)
- 各象限三角函数值的符号： 口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
- 三角函数线： 利用单位圆表示正弦线、余弦线、正切线等，用于理解三角函数值的大小和符号。
2.2 同角三角函数的基本关系
- 平方关系： sin²α + cos²α = 1
- 商数关系： tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
- 倒数关系： sin α · csc α = 1, cos α · sec α = 1, tan α · cot α = 1
- 变形应用： (sin α ± cos α)² = 1 ± 2sin α cos α， 利用已知条件求其他三角函数值。
三、 三角函数的图像与性质
3.1 正弦函数 y = sin x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性：
- 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增
- 在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减
- 对称性：
- 对称中心：(kπ, 0) (k ∈ Z)
- 对称轴：x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
- 图像： 正弦曲线
3.2 余弦函数 y = cos x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 偶函数
- 单调性：
- 在[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减
- 在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增
- 对称性：
- 对称中心：(π/2 + kπ, 0) (k ∈ Z)
- 对称轴：x = kπ (k ∈ Z)
- 图像： 余弦曲线
3.3 正切函数 y = tan x
- 定义域： {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
- 值域： R
- 周期性： T = π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性： 在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z)上单调递增
- 对称性： 对称中心：(kπ/2, 0) (k ∈ Z)
- 图像： 正切曲线
3.4 函数 y = Asin(ωx + φ)
- A： 振幅，决定函数值域，值域为[-A, A]
- ω： 影响周期， T = 2π/|ω|
- φ： 影响图像的左右平移，左加右减
- 图像变换：
- 纵坐标伸缩（A倍）
- 横坐标伸缩（1/ω倍）
- 左右平移（φ/ω 个单位）
- 上下平移
四、 三角恒等变换
4.1 和角公式与差角公式
- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
4.2 二倍角公式
- sin 2α = 2sinαcosα
- cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan 2α = 2tanα / (1 - tan²α)
4.3 半角公式（很少直接用，常用变形）
- sin²(α/2) = (1 - cosα)/2
- cos²(α/2) = (1 + cosα)/2
- tan(α/2) = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα) / sinα
4.4 辅助角公式
- asin x + bcos x = √(a² + b²)sin(x + φ) 其中 tan φ = b/a
- asin x + bcos x = √(a² + b²)cos(x - θ) 其中 tan θ = a/b
4.5 积化和差与和差化积（了解）
五、 解三角形
5.1 正弦定理
- a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
- 应用：
- 已知两角和任一边，求其他两边和一角
- 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 (注意解的个数)
5.2 余弦定理
- a² = b² + c² - 2bc cosA
- b² = a² + c² - 2ac cosB
- c² = a² + b² - 2ab cosC
- cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
- cosB = (a² + c² - b²) / 2ac
- cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
- 应用：
- 已知三边，求三个角
- 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
5.3 面积公式
- S = (1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA = (1/2)ca sinB
- S = (abc) / (4R) (R为外接圆半径)
- S = (1/2)周长 * 内切圆半径
- 海伦公式: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]， 其中 p = (a+b+c)/2
5.4 解题技巧
- 利用正弦定理和余弦定理进行边角互化
- 注意三角形内角和定理：A + B + C = π
- 大边对大角，小边对小角
六、 应用举例
6.1 实际问题抽象为数学模型
6.2 解题步骤
- 分析题意，建立数学模型
- 利用三角函数知识求解
- 检验结果，回归实际问题
