五年级数学下册思维导图

# 《五年级数学下册思维导图》

## 一、方程 (Equations)

方程是含有未知数的等式，是小学数学向中学代数过渡的重要桥梁。理解和掌握方程，对于培养代数思维至关重要。

### 1. 方程的意义与性质
*   **定义**: 含有 **未知数** 的 **等式** 叫做方程。
    *   **关键要素**:
        *   必须是 **等式** (含有等号)。
        *   必须含有 **未知数** (通常用字母如 x, y, a 等表示)。
    *   **等式的性质**:
        *   **性质1**: 等式两边同时 **加上或减去** 同一个数，等式仍然成立。 (a = b → a ± c = b ± c)
        *   **性质2**: 等式两边同时 **乘以** 同一个数，或者 **除以** 同一个不为零的数，等式仍然成立。 (a = b → ac = bc; a = b, c≠0 → a/c = b/c)
    *   **方程的解**: 使方程左右两边相等的未知数的值。
    *   **解方程**: 求方程的解的过程。

### 2. 用字母表示数
*   字母可以表示 **任意数**、**特定的数** 或 **计算公式中的量**。
    *   **书写规则**:
        *   数字和字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略或用“·”表示，数字通常写在字母前面 (如 5a, ab)。
        *   当 1 与字母相乘时，1 可以省略 (如 1x 写成 x)。
        *   含有字母的式子中的加减运算符号不能省略。
        *   除法通常写成分数形式 (如 a ÷ b 写成 a/b)。
    *   **代数式求值**: 用具体的数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算出结果。

### 3. 解简易方程
*   **依据**: 等式的基本性质。
    *   **目标**: 通过变形，使方程最终化为 “x = a” 的形式。
    *   **常见类型及解法**:
        *   **x + a = b**: 方程两边同时减去 a → x = b - a
        *   **x - a = b**: 方程两边同时加上 a → x = b + a
        *   **a - x = b**: 先将 x 移到等号右边，b 移到左边 → a - b = x，即 x = a - b (或两边同时减 a，再同乘-1)
        *   **ax = b**: 方程两边同时除以 a (a≠0) → x = b / a
        *   **x / a = b**: 方程两边同时乘以 a → x = ab
        *   **a / x = b**: 先将 x 移到等号右边，b 移到左边 → a / b = x，即 x = a / b (或两边同乘 x，再同除以 b)
        *   **带有括号或多步运算的方程**: 先去括号、合并同类项 (本册涉及较少)，再按上述基本类型求解。
    *   **检验**: 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。

### 4. 列方程解决问题
*   **步骤**:
        1.  **审题**: 理解题意，找出已知条件和未知量。
        2.  **设未知数**: 用字母 (如 x) 表示题目中的未知量。
        3.  **找等量关系**: 根据题意，找出能够表示相等关系的语句或数量关系。这是最关键的一步。
        4.  **列方程**: 根据等量关系，列出含有未知数的等式。
        5.  **解方程**: 求出未知数的值。
        6.  **检验**: 检查解是否符合题意，是否是实际问题的合理答案。
        7.  **作答**: 写出答案。
    *   **常见等量关系**: 和、差、倍、分关系；图形的周长、面积公式；行程问题中的关系 (路程 = 速度 × 时间) 等。

## 二、因数与倍数 (Factors and Multiples)

这部分内容是数论的基础，为后续学习分数、比等知识奠定基础。

### 1. 因数和倍数的概念
*   **定义**: 在整数乘法中，如果 a × b = c (a, b, c 均为非零自然数)，那么 a 和 b 就是 c 的 **因数**，c 就是 a 和 b 的 **倍数**。
    *   **注意**: 因数和倍数是相互依存的概念，不能单独存在。讨论因数和倍数时，一般限定在 **非零自然数** 范围内。
    *   **一个数的因数的特点**:
        *   个数是 **有限** 的。
        *   最小的因数是 **1**。
        *   最大的因数是 **它本身**。
    *   **一个数的倍数的特点**:
        *   个数是 **无限** 的。
        *   最小的倍数是 **它本身**。
        *   没有最大的倍数。
    *   **找因数/倍数的方法**:
        *   **找因数**: 用这个数从 1 开始依次去除，看哪些数能整除它；或者用乘法算式一对一对地找。
        *   **找倍数**: 用这个数依次乘以 1, 2, 3, ...

### 2. 2, 5, 3 的倍数特征
*   **2 的倍数 (偶数)**: 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。
    *   **5 的倍数**: 个位上是 0 或 5 的数。
    *   **3 的倍数**: **各位数字之和** 是 3 的倍数的数。
    *   **同时是 2, 5 的倍数**: 个位上是 0 的数。
    *   **同时是 2, 3 的倍数**: 个位是偶数，且各位数字之和是 3 的倍数。
    *   **同时是 3, 5 的倍数**: 个位是 0 或 5，且各位数字之和是 3 的倍数。
    *   **同时是 2, 3, 5 的倍数**: 个位是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。

### 3. 质数和合数
*   **定义**:
        *   **质数 (素数)**: 一个 **大于 1** 的自然数，除了 1 和它本身以外，没有其他因数。 (如 2, 3, 5, 7, 11...)
        *   **合数**: 一个 **大于 1** 的自然数，除了 1 和它本身以外，还有其他因数。 (如 4, 6, 8, 9, 10...)
        *   **1**: 既不是质数，也不是合数。它只有 1 个因数。
    *   **注意**: 2 是唯一的偶质数。
    *   **分解质因数**: 把一个 **合数** 写成几个 **质数** 相乘的形式。常用 **短除法**。

### 4. 最大公因数 (Greatest Common Factor - GCF) 和 最小公倍数 (Least Common Multiple - LCM)
*   **公因数**: 几个数 **公有** 的因数。
    *   **最大公因数 (GCF)**: 公因数中最大的一个。
    *   **求 GCF 方法**:
        *   **列举法**: 分别列出每个数的因数，找出公有的，再找出最大的。
        *   **分解质因数法**: 分解质因数后，取 **所有数共有** 的 **质因数**，每个质因数取 **最低次幂** 相乘。
        *   **短除法**: 用所有数 **公有** 的质因数连续去除，直到 **除得的商互质** (对于两个数) 或 **任意两个商都互质** (对于多个数)，把所有 **除数** 乘起来。
        *   **特殊情况**:
            *   如果两个数是 **倍数关系**，较小的数是它们的 GCF。
            *   如果两个数 **互质** (公因数只有 1)，它们的 GCF 是 1。
    *   **公倍数**: 几个数 **公有** 的倍数。
    *   **最小公倍数 (LCM)**: 公倍数中最小的一个。
    *   **求 LCM 方法**:
        *   **列举法**: 分别列出每个数的倍数，找出公有的，再找出最小的。
        *   **分解质因数法**: 分解质因数后，取 **所有出现过** 的 **质因数**，每个质因数取 **最高次幂** 相乘。
        *   **短除法**: 用所有数 **公有** 的质因数去除，或者用 **部分数公有** 的质因数去除 (没被除的数落下来)，直到 **除得的各商两两互质**，把所有 **除数** 和 **最后的商** 都乘起来。
        *   **特殊情况**:
            *   如果两个数是 **倍数关系**，较大的数是它们的 LCM。
            *   如果两个数 **互质**，它们的 LCM 是它们的乘积。
    *   **应用**: GCF 常用于 **分数约分**、**分组问题** (每组最多/平均)；LCM 常用于 **分数通分**、**周期问题** (下次同时发生)。

## 三、分数的意义和性质 (Meaning and Properties of Fractions)

分数是表示整体一部分或多个相等部分的数，是数系的又一次扩展。

### 1. 分数的意义
*   **定义**: 把 **单位“1”** 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
    *   **单位“1”**: 一个整体，可以是一个物体、一个计量单位或一个集合。
    *   **分数单位**: 把单位“1”平均分成若干份，表示 **其中一份** 的数。分母是几，分数单位就是几分之一。
    *   **分数与除法**: a ÷ b = a/b (b≠0)。被除数相当于 **分子**，除数相当于 **分母**，除号相当于 **分数线**。

### 2. 分数的分类
*   **真分数**: 分子 **小于** 分母的分数 (值 < 1)。
    *   **假分数**: 分子 **大于或等于** 分母的分数 (值 ≥ 1)。
    *   **带分数**: 由一个 **整数** 和一个 **真分数** 组成的分数 (值 > 1)。
    *   **假分数与带分数的互化**:
        *   **假分数化带分数**: 分子 ÷ 分母 = 商 …… 余数 → 商 (整数部分) + 余数/原分母 (分数部分)。
        *   **带分数化假分数**: 整数 × 分母 + 分子 = 新分子，分母不变。

### 3. 分数的基本性质
*   **内容**: 分数的 **分子和分母** 同时 **乘以或除以** 同一个 **不为零** 的数，分数的大小 **不变**。
    *   **应用**:
        *   **约分**: 把一个分数的分子和分母同时除以它们的 **公因数** (通常是最大公因数)，化成 **最简分数** (分子和分母只有公因数 1)。
        *   **通分**: 把几个 **异分母** 分数分别化成与原来分数相等的 **同分母** 分数，公分母通常取原来几个分母的 **最小公倍数**。

### 4. 比较分数的大小
*   **同分母分数**: 分子大的分数大。
    *   **同分子分数**: 分母小的分数大。
    *   **异分母异分子分数**:
        *   **通分法**: 化成同分母分数再比较分子。
        *   **化小数法**: 将分数都化成小数再比较。
        *   **与 1 或 0.5 比较法**: 看分数比 1 大还是小，比 0.5 大还是小。
        *   **交叉相乘法**: 比较 a/b 和 c/d 时，比较 ad 和 bc 的大小 (分母均为正时)。

## 四、分数的加法和减法 (Addition and Subtraction of Fractions)

掌握分数加减法是进行分数混合运算和解决相关实际问题的基础。

### 1. 同分母分数加减法
*   **法则**: 分母不变，只把分子相加减。
    *   **结果要求**: 能约分的要约成 **最简分数**；是假分数的，一般要化成 **带分数** 或 **整数**。

### 2. 异分母分数加减法
*   **法则**:
        1.  **通分**: 先将异分母分数化成 **同分母** 分数 (通常找分母的最小公倍数)。
        2.  **加减**: 按照同分母分数加减法法则进行计算。
    *   **结果要求**: 同上。

### 3. 分数加减混合运算
*   **运算顺序**: 与整数加减混合运算顺序相同，**从左往右** 依次计算；有括号的先算 **括号里面** 的。
    *   **简便运算**: 整数加法的 **交换律** 和 **结合律** 同样适用于分数加法。
        *   a + b = b + a (交换律)
        *   (a + b) + c = a + (b + c) (结合律)
        *   减法的性质: a - b - c = a - (b + c)

### 4. 解决问题
*   涉及分数加减法的实际问题，关键是理解题意，找准单位“1”，明确数量关系，然后列式计算。

## 五、长方体和正方体 (Cuboids and Cubes)

学习立体图形，认识它们的特征，掌握表面积和体积的计算方法。

### 1. 特征
*   **相同点**: 都有 6 个面，12 条棱，8 个顶点。
    *   **不同点**:
        *   **长方体**:
            *   面: 6 个面都是长方形 (特殊情况：可能有 2 个相对的面是正方形)，相对的面 **完全相同**。
            *   棱: 相对的 4 条棱长度 **相等**。可分为长、宽、高三组，每组 4 条。
            *   棱长和 = (长 + 宽 + 高) × 4
        *   **正方体 (特殊的长方体)**:
            *   面: 6 个面都是 **完全相同** 的正方形。
            *   棱: 12 条棱长度都 **相等**。
            *   棱长和 = 棱长 × 12

### 2. 表面积
*   **定义**: 物体 **表面** 所有面的面积之和。
    *   **单位**: 平方米 (m²)、平方分米 (dm²)、平方厘米 (cm²)。
    *   **计算公式**:
        *   **长方体表面积** = (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高) × 2
        *   **正方体表面积** = 棱长 × 棱长 × 6 = 6a² (a 为棱长)
    *   **实际应用**: 注意区分是计算所有 6 个面，还是根据实际情况计算部分面 (如无盖水箱、粉刷墙壁等)。

### 3. 体积 (容积)
*   **体积定义**: 物体所 **占据空间** 的大小。
    *   **容积定义**: 容器所能 **容纳物体** 的体积 (通常从内部测量)。
    *   **单位**:
        *   体积: 立方米 (m³)、立方分米 (dm³)、立方厘米 (cm³)。
        *   容积: 升 (L)、毫升 (mL)。
    *   **单位换算**:
        *   1 m³ = 1000 dm³
        *   1 dm³ = 1000 cm³
        *   1 m³ = 1,000,000 cm³
        *   1 L = 1 dm³
        *   1 mL = 1 cm³
        *   1 L = 1000 mL
    *   **计算公式**:
        *   **长方体体积** = 长 × 宽 × 高 = 底面积 × 高 (V = lwh = Sh)
        *   **正方体体积** = 棱长 × 棱长 × 棱长 = 底面积 × 棱长 (V = a³ = Sa)
        *   **通用公式**: 规则柱体的体积 = 底面积 × 高

### 4. 不规则物体体积测量
*   **排水法**: 将不规则物体浸没在盛有水的规则容器 (如量筒、长方体水槽) 中，水面 **上升部分** 的体积即为物体的体积。
    *   **计算方法**: 上升部分的体积 = 容器的底面积 × 水面上升的高度。

## 六、统计 (Statistics)

学习用更复杂的统计图表来表示和分析数据。

### 1. 复式折线统计图
*   **作用**: 用来表示 **两组或多组** 相关数据在 **一段时间内** 的 **变化情况**，便于比较它们的发展趋势和差异。
    *   **特点**:
        *   用不同颜色或线型的折线代表不同组的数据。
        *   有清晰的图例说明每条线代表的内容。
        *   横轴通常表示时间或顺序。
        *   纵轴表示数量。
    *   **绘制步骤**:
        1.  整理数据。
        2.  画出横轴和纵轴，标明刻度、单位和名称。
        3.  根据数据描点。
        4.  用不同线型或颜色连接各组数据的点，形成折线。
        5.  标明图例。
        6.  写上标题和日期。
    *   **分析**:
        *   观察每条折线的升降变化，分析 **各自** 的增减趋势。
        *   比较不同折线在 **同一时间点** 的高低，分析 **组间** 的差异。
        *   比较不同折线的 **整体走势**，分析发展趋势的异同。

## 七、数学广角 - 找次品 (Finding the Defective Item)

初步接触运筹学思想，学习用最优策略解决问题。

### 1. 问题模型
*   在一堆外观相同的物品中，有一个质量不同 (偏轻或偏重) 的次品，用 **天平** (无砝码) 找出次品，并求最少需要称几次能保证找到。

### 2. 基本策略 (最优策略)
*   **三分法**: 将待测物品尽可能 **平均分成三份**。
        *   **第一份** 和 **第二份** 放在天平两端。
        *   **情况分析**:
            *   **天平平衡**: 次品在 **第三份** (未称) 中。
            *   **天平不平衡**: 次品在 **较轻** 或 **较重** 的那一盘中 (根据题目告知次品是偏轻还是偏重判断)。
    *   **原理**: 每次称量都能将待测物品范围缩小到原来的 **三分之一** 左右，从而保证用最少的次数找到次品。

### 3. 次数计算 (仅供了解，非硬性要求)
*   如果 n 个物品中找 1 个次品，最少称重次数 k 满足 3^(k-1) < n ≤ 3^k。
    *   例如:
        *   3 个物品: 1 次 (1 < 3 ≤ 3¹)
        *   9 个物品: 2 次 (3¹ < 9 ≤ 3²)
        *   27 个物品: 3 次 (3² < 27 ≤ 3³)
        *   10 个物品: 3 次 (3² < 10 ≤ 3³)

### 4. 注意事项
*   明确次品是 **偏轻** 还是 **偏重**，或者 **不知轻重** (不知轻重时情况更复杂，小学阶段通常是已知轻重)。
    *   理解“保证找到”的含义，即考虑 **最坏情况** 下需要称几次。
    *   体会 **排除法** 和 **逐步缩小范围** 的思想。

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这份思维导图梳理了五年级数学下册的核心知识点，通过结构化的方式帮助理解和记忆。掌握这些内容，将为后续更高年级的数学学习打下坚实的基础。在学习过程中，不仅要记住概念和公式，更要理解其内涵、掌握方法、灵活运用，并注重知识间的联系。

《五年级数学下册思维导图》

一、方程 (Equations)

方程是含有未知数的等式，是小学数学向中学代数过渡的重要桥梁。理解和掌握方程，对于培养代数思维至关重要。

1. 方程的意义与性质

定义: 含有 未知数 的等式叫做方程。
- 关键要素:
  - 必须是等式 (含有等号)。
  - 必须含有 未知数 (通常用字母如 x, y, a 等表示)。
- 等式的性质:
  - 性质1: 等式两边同时 加上或减去 同一个数，等式仍然成立。 (a = b → a ± c = b ± c)
  - 性质2: 等式两边同时乘以同一个数，或者除以同一个不为零的数，等式仍然成立。 (a = b → ac = bc; a = b, c≠0 → a/c = b/c)
- 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程: 求方程的解的过程。

2. 用字母表示数

字母可以表示 任意数、特定的数 或 计算公式中的量。
- 书写规则:
  - 数字和字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略或用“·”表示，数字通常写在字母前面 (如 5a, ab)。
  - 当 1 与字母相乘时，1 可以省略 (如 1x 写成 x)。
  - 含有字母的式子中的加减运算符号不能省略。
  - 除法通常写成分数形式 (如 a ÷ b 写成 a/b)。
- 代数式求值: 用具体的数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算出结果。

3. 解简易方程

依据: 等式的基本性质。
- 目标: 通过变形，使方程最终化为 “x = a” 的形式。
- 常见类型及解法:
  - x + a = b: 方程两边同时减去 a → x = b - a
  - x - a = b: 方程两边同时加上 a → x = b + a
  - a - x = b: 先将 x 移到等号右边，b 移到左边 → a - b = x，即 x = a - b (或两边同时减 a，再同乘-1)
  - ax = b: 方程两边同时除以 a (a≠0) → x = b / a
  - x / a = b: 方程两边同时乘以 a → x = ab
  - a / x = b: 先将 x 移到等号右边，b 移到左边 → a / b = x，即 x = a / b (或两边同乘 x，再同除以 b)
  - 带有括号或多步运算的方程: 先去括号、合并同类项 (本册涉及较少)，再按上述基本类型求解。
- 检验: 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。

4. 列方程解决问题

步骤:
1. 审题: 理解题意，找出已知条件和未知量。
2. 设未知数: 用字母 (如 x) 表示题目中的未知量。
3. 找等量关系: 根据题意，找出能够表示相等关系的语句或数量关系。这是最关键的一步。
4. 列方程: 根据等量关系，列出含有未知数的等式。
5. 解方程: 求出未知数的值。
6. 检验: 检查解是否符合题意，是否是实际问题的合理答案。
7. 作答: 写出答案。
  - 常见等量关系: 和、差、倍、分关系；图形的周长、面积公式；行程问题中的关系 (路程 = 速度 × 时间) 等。

二、因数与倍数 (Factors and Multiples)

这部分内容是数论的基础，为后续学习分数、比等知识奠定基础。

1. 因数和倍数的概念

定义: 在整数乘法中，如果 a × b = c (a, b, c 均为非零自然数)，那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。
- 注意: 因数和倍数是相互依存的概念，不能单独存在。讨论因数和倍数时，一般限定在 非零自然数 范围内。
- 一个数的因数的特点:
  - 个数是有限的。
  - 最小的因数是 1。
  - 最大的因数是 它本身。
- 一个数的倍数的特点:
  - 个数是无限的。
  - 最小的倍数是 它本身。
  - 没有最大的倍数。
- 找因数/倍数的方法:
  - 找因数: 用这个数从 1 开始依次去除，看哪些数能整除它；或者用乘法算式一对一对地找。
  - 找倍数: 用这个数依次乘以 1, 2, 3, ...

2. 2, 5, 3 的倍数特征

2 的倍数 (偶数): 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。
- 5 的倍数: 个位上是 0 或 5 的数。
- 3 的倍数: 各位数字之和 是 3 的倍数的数。
- 同时是 2, 5 的倍数: 个位上是 0 的数。
- 同时是 2, 3 的倍数: 个位是偶数，且各位数字之和是 3 的倍数。
- 同时是 3, 5 的倍数: 个位是 0 或 5，且各位数字之和是 3 的倍数。
- 同时是 2, 3, 5 的倍数: 个位是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。

3. 质数和合数

定义:
- 质数 (素数): 一个 大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外，没有其他因数。 (如 2, 3, 5, 7, 11...)
- 合数: 一个 大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外，还有其他因数。 (如 4, 6, 8, 9, 10...)
- 1: 既不是质数，也不是合数。它只有 1 个因数。
  - 注意: 2 是唯一的偶质数。
  - 分解质因数: 把一个合数写成几个质数相乘的形式。常用 短除法。

4. 最大公因数 (Greatest Common Factor - GCF) 和最小公倍数 (Least Common Multiple - LCM)

公因数: 几个数公有的因数。
- 最大公因数 (GCF): 公因数中最大的一个。
- 求 GCF 方法:
  - 列举法: 分别列出每个数的因数，找出公有的，再找出最大的。
  - 分解质因数法: 分解质因数后，取 所有数共有 的 质因数，每个质因数取 最低次幂 相乘。
  - 短除法: 用所有数公有的质因数连续去除，直到 除得的商互质 (对于两个数) 或 任意两个商都互质 (对于多个数)，把所有除数乘起来。
  - 特殊情况:
    - 如果两个数是 倍数关系，较小的数是它们的 GCF。
    - 如果两个数互质 (公因数只有 1)，它们的 GCF 是 1。
- 公倍数: 几个数公有的倍数。
- 最小公倍数 (LCM): 公倍数中最小的一个。
- 求 LCM 方法:
  - 列举法: 分别列出每个数的倍数，找出公有的，再找出最小的。
  - 分解质因数法: 分解质因数后，取 所有出现过 的 质因数，每个质因数取 最高次幂 相乘。
  - 短除法: 用所有数公有的质因数去除，或者用 部分数公有 的质因数去除 (没被除的数落下来)，直到 除得的各商两两互质，把所有除数和 最后的商 都乘起来。
  - 特殊情况:
    - 如果两个数是 倍数关系，较大的数是它们的 LCM。
    - 如果两个数互质，它们的 LCM 是它们的乘积。
- 应用: GCF 常用于 分数约分、分组问题 (每组最多/平均)；LCM 常用于 分数通分、周期问题 (下次同时发生)。

三、分数的意义和性质 (Meaning and Properties of Fractions)

分数是表示整体一部分或多个相等部分的数，是数系的又一次扩展。

1. 分数的意义

定义: 把 单位“1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 单位“1”: 一个整体，可以是一个物体、一个计量单位或一个集合。
- 分数单位: 把单位“1”平均分成若干份，表示 其中一份 的数。分母是几，分数单位就是几分之一。
- 分数与除法: a ÷ b = a/b (b≠0)。被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于 分数线。

2. 分数的分类

真分数: 分子小于分母的分数 (值 < 1)。
- 假分数: 分子 大于或等于 分母的分数 (值 ≥ 1)。
- 带分数: 由一个整数和一个 真分数 组成的分数 (值 > 1)。
- 假分数与带分数的互化:
  - 假分数化带分数: 分子 ÷ 分母 = 商 …… 余数 → 商 (整数部分) + 余数/原分母 (分数部分)。
  - 带分数化假分数: 整数 × 分母 + 分子 = 新分子，分母不变。

3. 分数的基本性质

内容: 分数的 分子和分母 同时 乘以或除以 同一个 不为零 的数，分数的大小不变。
- 应用:
  - 约分: 把一个分数的分子和分母同时除以它们的 公因数 (通常是最大公因数)，化成 最简分数 (分子和分母只有公因数 1)。
  - 通分: 把几个 异分母 分数分别化成与原来分数相等的 同分母 分数，公分母通常取原来几个分母的 最小公倍数。

4. 比较分数的大小

同分母分数: 分子大的分数大。
- 同分子分数: 分母小的分数大。
- 异分母异分子分数:
  - 通分法: 化成同分母分数再比较分子。
  - 化小数法: 将分数都化成小数再比较。
  - 与 1 或 0.5 比较法: 看分数比 1 大还是小，比 0.5 大还是小。
  - 交叉相乘法: 比较 a/b 和 c/d 时，比较 ad 和 bc 的大小 (分母均为正时)。

四、分数的加法和减法 (Addition and Subtraction of Fractions)

掌握分数加减法是进行分数混合运算和解决相关实际问题的基础。

1. 同分母分数加减法

法则: 分母不变，只把分子相加减。
- 结果要求: 能约分的要约成 最简分数；是假分数的，一般要化成 带分数 或整数。

2. 异分母分数加减法

法则:
1. 通分: 先将异分母分数化成 同分母 分数 (通常找分母的最小公倍数)。
2. 加减: 按照同分母分数加减法法则进行计算。
  - 结果要求: 同上。

3. 分数加减混合运算

运算顺序: 与整数加减混合运算顺序相同，从左往右 依次计算；有括号的先算 括号里面 的。
- 简便运算: 整数加法的 交换律 和 结合律 同样适用于分数加法。
  - a + b = b + a (交换律)
  - (a + b) + c = a + (b + c) (结合律)
  - 减法的性质: a - b - c = a - (b + c)

4. 解决问题

涉及分数加减法的实际问题，关键是理解题意，找准单位“1”，明确数量关系，然后列式计算。

五、长方体和正方体 (Cuboids and Cubes)