4年级上册数学思维导图

# 《4年级上册数学思维导图》

## 一、 大数的认识 (Understanding Large Numbers)

### 1. 数亿以内数的认识 (Understanding Numbers up to Hundreds of Millions)
*   **计数单位 (Counting Units):**
        *   个 (One), 十 (Ten), 百 (Hundred), 千 (Thousand)
        *   万 (Ten Thousand), 十万 (Hundred Thousand), 百万 (Million), 千万 (Ten Million)
        *   亿 (Hundred Million)
        *   **关系:** 每相邻两个计数单位之间的进率是 **10** (The ratio between adjacent counting units is 10).
    *   **数位顺序表 (Place Value Chart):**
        *   **数位 (Place Values):** 个位, 十位, 百位, 千位, 万位, 十万位, 百万位, 千万位, 亿位...
        *   **数级 (Number Classes):**
            *   个级 (Ones Class): 个位, 十位, 百位, 千位
            *   万级 (Ten Thousands Class): 万位, 十万位, 百万位, 千万位
            *   亿级 (Hundred Millions Class): 亿位, 十亿位, 百亿位, 千亿位...
        *   **对应关系:** 每个计数单位都占据一个数位。
    *   **亿以内数的读法 (Reading Numbers up to Hundreds of Millions):**
        *   **分级读:** 从高位到低位，一级一级地读。
        *   读万级或亿级的数时，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上“万”字或“亿”字。
        *   **零的读法:**
            *   每级末尾的0都不读。
            *   其他数位上，不论有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。
            *   示例: 30,050,008 读作 三千零五万零八。
    *   **亿以内数的写法 (Writing Numbers up to Hundreds of Millions):**
        *   **分级写:** 从高位到低位，一级一级地写。
        *   哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 **0** 占位。
        *   示例: 五亿零六百万 写作 5,0600,0000 (注意分级)。
    *   **数的大小比较 (Comparing Numbers):**
        *   **位数不同:** 位数多的数大于位数少的数。
        *   **位数相同:** 从最高位比起，最高位上数字大的那个数就大；如果最高位上的数字相同，就比较下一位，以此类推。
    *   **数的改写 (Rewriting Numbers):**
        *   将整万、整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
        *   方法：去掉末尾的4个0，加上“万”字；去掉末尾的8个0，加上“亿”字。
        *   示例: 50000 = 5万; 200000000 = 2亿。
    *   **求近似数 (Finding Approximate Numbers):**
        *   **方法:** “四舍五入”法 (Rounding off)。
        *   **规则:**
            *   看要省略的尾数部分的最高位上的数字。
            *   如果小于5 (<5)，就将尾数直接舍去 (“舍”)。
            *   如果大于或等于5 (≥5)，就将尾数舍去，并向前一位进1 (“入”)。
        *   **注意:** 求近似数时，无论“舍”还是“入”，被省略的尾数部分都要写成0 (但改写成以“万”或“亿”为单位时则不写0)。
        *   示例: 34567 ≈ 3万 (省略万位后面的尾数); 38765 ≈ 4万。

### 2. 自然数 (Natural Numbers)
*   表示物体个数的 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... 都是自然数。
    *   一个物体也没有，用 **0** 表示。0也是自然数。
    *   **最小的自然数是 0。**
    *   **没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。**

### 3. 计算工具的认识 (Understanding Calculation Tools)
*   **算盘 (Abacus):**
        *   结构: 框, 档, 梁, 上珠 (1颗代表5), 下珠 (1颗代表1)。
        *   基本操作: 清盘, 记数, 简单加减。
    *   **计算器 (Calculator):**
        *   常见按键: ON/AC (开机/清屏), OFF (关机), 数字键, 运算符号键 (+, -, ×, ÷), = (等于), CE (清除当前输入)。
        *   使用方法: 按照算式顺序输入数字和符号，按“=”得出结果。

## 二、 角的度量 (Measuring Angles)

### 1. 线 (Lines)
*   **直线 (Straight Line):** 没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度。
    *   **射线 (Ray):** 只有一个端点，可以向一端无限延伸，不可测量长度。
    *   **线段 (Line Segment):** 有两个端点，不可以延伸，可以测量长度。
    *   **关系:** 线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分。

### 2. 角 (Angles)
*   **定义:** 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
    *   **组成部分:**
        *   **顶点 (Vertex):** 这个公共的点。
        *   **边 (Sides):** 这两条射线。
    *   **角的表示:** 用符号 “∠” 表示，如 ∠1, ∠AOB。
    *   **角的大小:**
        *   角的大小与 **两条边叉开的程度** 有关，叉开得越大，角越大。
        *   角的大小与边的长短无关。
    *   **计量单位:** **度 (Degree)**，用符号 “°” 表示。
    *   **测量工具:** **量角器 (Protractor)**。
        *   **结构:** 中心点, 0°刻度线 (内圈/外圈), 刻度。
        *   **使用方法:**
            1.  **点对点:** 量角器的中心点对准角的顶点。
            2.  **线对边:** 0°刻度线对准角的一条边。
            3.  **读度数:** 看另一条边所对的刻度。(注意选择内圈还是外圈读数，对准0°刻度线是哪一圈就读哪一圈)。
    *   **画角:**
        *   使用量角器和尺子。
        *   步骤: 画射线 → 点对点, 线对边 → 找刻度, 点标记 → 连射线。

### 3. 角的分类 (Classification of Angles)
*   **锐角 (Acute Angle):** 大于 0° 且小于 90° 的角。 (0° < 锐角 < 90°)
    *   **直角 (Right Angle):** 等于 90° 的角。 (直角 = 90°)
    *   **钝角 (Obtuse Angle):** 大于 90° 且小于 180° 的角。 (90° < 钝角 < 180°)
    *   **平角 (Straight Angle):** 等于 180° 的角。 (平角 = 180°) (一条直线)
    *   **周角 (Round Angle / Full Angle):** 等于 360° 的角。 (周角 = 360°) (一条射线绕顶点旋转一周)
    *   **关系:**
        *   1 周角 = 2 平角 = 4 直角
        *   1 平角 = 2 直角

## 三、 三位数乘两位数 (Multiplying 3-digit by 2-digit Numbers)

### 1. 口算乘法 (Mental Multiplication)
*   整十、整百数乘整十数: 先将0前面的数相乘，再看两个因数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 (例: 120 × 30 = 3600)

### 2. 估算乘法 (Estimation of Multiplication)
*   将三位数和两位数看作与它们接近的整十、整百或几百几十的数进行计算。
    *   常用方法: 四舍五入法。 (例: 198 × 21 ≈ 200 × 20 = 4000)

### 3. 笔算乘法 (Written Multiplication)
*   **竖式计算法则:**
        1.  **对位:** 相同数位对齐 (通常把位数多的放上面)。
        2.  **分步乘:** 先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐。
        3.  再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐。
        4.  **相加:** 把两次乘得的数加起来。
    *   **因数中间或末尾有0的乘法:**
        *   **中间有0:** 乘的过程中，0也要参与相乘。
        *   **末尾有0:** 可以先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。竖式可以简化，将0前提，非零部分对齐。
    *   **验算:** 可以交换两个因数的位置再乘一遍。

### 4. 积的变化规律 (Patterns in Products)
*   一个因数不变，另一个因数乘 (或除以) 几 (0除外)，积也乘 (或除以) 几。

### 5. 常用数量关系 (Common Quantitative Relationships)
*   **速度 × 时间 = 路程** (Speed × Time = Distance)
    *   **单价 × 数量 = 总价** (Unit Price × Quantity = Total Price)
    *   **工作效率 × 工作时间 = 工作总量** (Work Efficiency × Work Time = Total Workload)

### 6. 解决问题 (Problem Solving)
*   运用乘法知识解决实际生活中的问题。
    *   理解题意，找到已知条件和问题，选择合适的计算方法。

## 四、 平行四边形和梯形 (Parallelograms and Trapezoids)

### 1. 垂直与平行 (Perpendicular and Parallel Lines)
*   **同一平面内，两条直线的位置关系:**
        *   **相交 (Intersecting):** 有一个公共交点。
            *   **垂直 (Perpendicular):** 相交成 **直角 (90°)** 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的 **垂线 (Perpendicular line)**，它们的交点叫做 **垂足 (Foot of the perpendicular)**。符号: ⊥。
        *   **平行 (Parallel):** 不相交。这两条直线互相平行。符号: //。
    *   **画垂线和平行线:**
        *   使用直尺和三角尺。
        *   **画垂线:** "一贴、二移、三画"。 (贴尺、移三角尺过点、画垂线)
        *   **画平行线:** "一贴、二靠、三移、四画"。 (贴尺、靠三角尺、平移三角尺、画平行线)
    *   **点到直线的距离:** 从直线外一点到这条直线所画的 **垂线段** 的长度，叫做这点到直线的距离。 (垂线段最短)
    *   **平行线间的距离:** 两条平行线之间所有垂线段的长度都相等。这个长度就是平行线间的距离。

### 2. 平行四边形 (Parallelogram)
*   **定义:** **两组对边分别平行** 的四边形叫做平行四边形。
    *   **特性:**
        *   对边平行且相等。
        *   对角相等。
        *   容易变形 (不稳定性)。
    *   **高 (Height) 和 底 (Base):** 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂线段，叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 (高和底是对应的，一个平行四边形有无数条高)
    *   **画高:** 从一个顶点向其对边(或对边延长线)作垂线段。

### 3. 梯形 (Trapezoid / Trapezium)
*   **定义:** **只有一组对边平行** 的四边形叫做梯形。
    *   **各部分名称:**
        *   **上底 (Upper Base):** 平行的一组对边中较短的边。
        *   **下底 (Lower Base):** 平行的一组对边中较长的边。
        *   **腰 (Legs):** 不平行的那组对边。
        *   **高 (Height):** 两条平行线 (上底和下底) 之间的垂线段。 (梯形有无数条高，长度都相等)
    *   **特殊梯形:**
        *   **等腰梯形 (Isosceles Trapezoid):** 两条腰相等的梯形。 (同一底上的两个角相等)
        *   **直角梯形 (Right-angled Trapezoid):** 一条腰垂直于两底的梯形。 (有直角)
    *   **画高:** 从上底的一点向下底(或下底延长线)作垂线段。

### 4. 四边形的关系 (Relationship between Quadrilaterals)
*   长方形和正方形是特殊的平行四边形。
    *   集合图表示包含关系。

## 五、 除数是两位数的除法 (Division with 2-digit Divisors)

### 1. 口算除法 (Mental Division)
*   整十数除整十数、几百几十数:
        *   利用乘法口诀。 (例: 120 ÷ 30 = 4，想 4 × 30 = 120)
        *   利用表内除法。 (例: 120 ÷ 30 看作 12 ÷ 3 = 4)
    *   估算: 将被除数和除数看作与它们接近的整十数或几百几十数进行计算。 (例: 412 ÷ 82 ≈ 400 ÷ 80 = 5)

### 2. 笔算除法 (Written Division)
*   **竖式计算法则:**
        1.  **从高位除起:** 从被除数的高位除起，先看被除数的前两位。
        2.  **试商:** 如果前两位数比除数大，就直接除；如果前两位数比除数小，就看前三位数。除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。
        3.  **比较:** 每次除得的余数必须比除数小。
    *   **试商方法:**
        *   **四舍五入法:** 把除数看作与它接近的整十数来试商。
            *   "四舍": 除数看小了，初商可能 **偏大**，需要调小。
            *   "五入": 除数看大了，初商可能 **偏小**，需要调大。
        *   **同头试商法/折半估商法等:** 根据具体数字特点灵活试商。
    *   **商的变化规律 (Patterns in Quotients):**
        *   **被除数不变:** 除数乘 (或除以) 几 (0除外)，商反而除以 (或乘) 几。
        *   **除数不变:** 被除数乘 (或除以) 几 (0除外)，商也乘 (或除以) 几。
        *   **商不变的性质:** 被除数和除数同时乘 (或除以) 相同的数 (0除外)，商不变。 (应用: 简化计算，如 300 ÷ 25 = (300×4) ÷ (25×4) = 1200 ÷ 100 = 12)
    *   **有余数的除法:**
        *   关系式: **被除数 = 除数 × 商 + 余数**
        *   应用商不变性质时，**余数** 也要跟着乘 (或除以) 相同的数。
    *   **验算:**
        *   没有余数: 除数 × 商 = 被除数
        *   有余数: 除数 × 商 + 余数 = 被除数

### 3. 解决问题 (Problem Solving)
*   运用除法知识解决 "包含除" (求一个数里包含多少个另一个数) 和 "等分除" (把一个数平均分成几份，求每份是多少) 的实际问题。
    *   注意带单位和答语。

## 六、 统计 (Statistics)

### 1. 条形统计图 (Bar Graphs)
*   **作用:** 能清楚地表示出 **每个项目具体数量的多少**，便于比较。
    *   **种类 (本册主要涉及):**
        *   **单式条形统计图 (Single Bar Graph):** 表示一组数据。
        *   **(可能初步接触) 复式条形统计图 (Double/Multiple Bar Graph):** 同时表示两组或多组相关数据，便于比较差异。 (用不同颜色或图例区分)
    *   **组成部分:**
        *   标题 (Title): 说明统计图的主题。
        *   图例 (Legend): (复式条形图需要) 说明不同条形代表的内容。
        *   横轴/纵轴 (Axes): 标明项目和数量。
        *   刻度 (Scale): 表示单位数量。
        *   直条 (Bars): 高度或长度代表数量。
    *   **制作步骤:**
        1.  收集、整理数据。
        2.  画坐标轴，确定单位长度 (刻度)。
        3.  根据数据画直条。
        4.  写标题和必要说明。
    *   **数据分析:**
        *   从图中读取具体数值。
        *   比较不同项目数量的大小、差异。
        *   计算总数、平均数 (可能涉及)。
        *   根据图表信息作出简单判断和预测。

## 七、 数学广角 (Mathematical Corner / Problem Solving Strategies)

### 1. 优化 - 合理安排时间 (Optimization - Time Management)
*   **目标:** 寻找最优方案，使完成一系列事情所用的 **总时间最短**。
    *   **策略:**
        *   分析各项任务所需时间及先后顺序/依赖关系。
        *   找出可以 **同时进行** 的事情。
        *   运用 **流程图** 或 **列表法** 帮助分析。
    *   **关键:** 区分哪些事必须按顺序做，哪些事可以并行处理，最大限度地利用时间。
    *   **示例:** 烧水 (10分钟)、洗茶杯 (2分钟)、找茶叶 (1分钟)、沏茶 (1分钟)。 最优流程: 烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶。 总时间 = 烧水时间 + 沏茶时间 = 10 + 1 = 11分钟。

(注意: 不同教材版本在“数学广角”部分可能侧重不同的专题，如“植树问题”、“鸡兔同笼”等可能在其他年级或学期出现，本处以“合理安排时间”为例。)

《4年级上册数学思维导图》

一、大数的认识 (Understanding Large Numbers)

1. 数亿以内数的认识 (Understanding Numbers up to Hundreds of Millions)

计数单位 (Counting Units):
- 个 (One), 十 (Ten), 百 (Hundred), 千 (Thousand)
- 万 (Ten Thousand), 十万 (Hundred Thousand), 百万 (Million), 千万 (Ten Million)
- 亿 (Hundred Million)
- 关系: 每相邻两个计数单位之间的进率是 10 (The ratio between adjacent counting units is 10).
  - 数位顺序表 (Place Value Chart):
- 数位 (Place Values): 个位, 十位, 百位, 千位, 万位, 十万位, 百万位, 千万位, 亿位...
- 数级 (Number Classes):
  - 个级 (Ones Class): 个位, 十位, 百位, 千位
  - 万级 (Ten Thousands Class): 万位, 十万位, 百万位, 千万位
  - 亿级 (Hundred Millions Class): 亿位, 十亿位, 百亿位, 千亿位...
- 对应关系: 每个计数单位都占据一个数位。
  - 亿以内数的读法 (Reading Numbers up to Hundreds of Millions):
- 分级读: 从高位到低位，一级一级地读。
- 读万级或亿级的数时，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上“万”字或“亿”字。
- 零的读法:
  - 每级末尾的0都不读。
  - 其他数位上，不论有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。
  - 示例: 30,050,008 读作三千零五万零八。
    - 亿以内数的写法 (Writing Numbers up to Hundreds of Millions):
- 分级写: 从高位到低位，一级一级地写。
- 哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0 占位。
- 示例: 五亿零六百万写作 5,0600,0000 (注意分级)。
  - 数的大小比较 (Comparing Numbers):
- 位数不同: 位数多的数大于位数少的数。
- 位数相同: 从最高位比起，最高位上数字大的那个数就大；如果最高位上的数字相同，就比较下一位，以此类推。
  - 数的改写 (Rewriting Numbers):
- 将整万、整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
- 方法：去掉末尾的4个0，加上“万”字；去掉末尾的8个0，加上“亿”字。
- 示例: 50000 = 5万; 200000000 = 2亿。
  - 求近似数 (Finding Approximate Numbers):
- 方法: “四舍五入”法 (Rounding off)。
- 规则:
  - 看要省略的尾数部分的最高位上的数字。
  - 如果小于5 (<5)，就将尾数直接舍去 (“舍”)。
  - 如果大于或等于5 (≥5)，就将尾数舍去，并向前一位进1 (“入”)。
- 注意: 求近似数时，无论“舍”还是“入”，被省略的尾数部分都要写成0 (但改写成以“万”或“亿”为单位时则不写0)。
- 示例: 34567 ≈ 3万 (省略万位后面的尾数); 38765 ≈ 4万。

2. 自然数 (Natural Numbers)

表示物体个数的 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... 都是自然数。
- 一个物体也没有，用 0 表示。0也是自然数。
- 最小的自然数是 0。
- 没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

3. 计算工具的认识 (Understanding Calculation Tools)

算盘 (Abacus):
- 结构: 框, 档, 梁, 上珠 (1颗代表5), 下珠 (1颗代表1)。
- 基本操作: 清盘, 记数, 简单加减。
  - 计算器 (Calculator):
- 常见按键: ON/AC (开机/清屏), OFF (关机), 数字键, 运算符号键 (+, -, ×, ÷), = (等于), CE (清除当前输入)。
- 使用方法: 按照算式顺序输入数字和符号，按“=”得出结果。

二、角的度量 (Measuring Angles)

1. 线 (Lines)

直线 (Straight Line): 没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度。
- 射线 (Ray): 只有一个端点，可以向一端无限延伸，不可测量长度。
- 线段 (Line Segment): 有两个端点，不可以延伸，可以测量长度。
- 关系: 线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分。

2. 角 (Angles)

定义: 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
- 组成部分:
  - 顶点 (Vertex): 这个公共的点。
  - 边 (Sides): 这两条射线。
- 角的表示: 用符号 “∠” 表示，如 ∠1, ∠AOB。
- 角的大小:
  - 角的大小与 两条边叉开的程度 有关，叉开得越大，角越大。
  - 角的大小与边的长短无关。
- 计量单位: 度 (Degree)，用符号 “°” 表示。
- 测量工具: 量角器 (Protractor)。
  - 结构: 中心点, 0°刻度线 (内圈/外圈), 刻度。
  - 使用方法:
    1. 点对点: 量角器的中心点对准角的顶点。
    2. 线对边: 0°刻度线对准角的一条边。
    3. 读度数: 看另一条边所对的刻度。(注意选择内圈还是外圈读数，对准0°刻度线是哪一圈就读哪一圈)。
- 画角:
  - 使用量角器和尺子。
  - 步骤: 画射线 → 点对点, 线对边 → 找刻度, 点标记 → 连射线。

3. 角的分类 (Classification of Angles)

锐角 (Acute Angle): 大于 0° 且小于 90° 的角。 (0° < 锐角 < 90°)
- 直角 (Right Angle): 等于 90° 的角。 (直角 = 90°)
- 钝角 (Obtuse Angle): 大于 90° 且小于 180° 的角。 (90° < 钝角 < 180°)
- 平角 (Straight Angle): 等于 180° 的角。 (平角 = 180°) (一条直线)
- 周角 (Round Angle / Full Angle): 等于 360° 的角。 (周角 = 360°) (一条射线绕顶点旋转一周)
- 关系:
  - 1 周角 = 2 平角 = 4 直角
  - 1 平角 = 2 直角

三、三位数乘两位数 (Multiplying 3-digit by 2-digit Numbers)

1. 口算乘法 (Mental Multiplication)

整十、整百数乘整十数: 先将0前面的数相乘，再看两个因数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 (例: 120 × 30 = 3600)

2. 估算乘法 (Estimation of Multiplication)

将三位数和两位数看作与它们接近的整十、整百或几百几十的数进行计算。
- 常用方法: 四舍五入法。 (例: 198 × 21 ≈ 200 × 20 = 4000)

3. 笔算乘法 (Written Multiplication)

竖式计算法则:
1. 对位: 相同数位对齐 (通常把位数多的放上面)。
2. 分步乘: 先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐。
3. 再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐。
4. 相加: 把两次乘得的数加起来。
  - 因数中间或末尾有0的乘法:
  - 中间有0: 乘的过程中，0也要参与相乘。
  - 末尾有0: 可以先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。竖式可以简化，将0前提，非零部分对齐。
  - 验算: 可以交换两个因数的位置再乘一遍。

4. 积的变化规律 (Patterns in Products)

一个因数不变，另一个因数乘 (或除以) 几 (0除外)，积也乘 (或除以) 几。

5. 常用数量关系 (Common Quantitative Relationships)

速度 × 时间 = 路程 (Speed × Time = Distance)
- 单价 × 数量 = 总价 (Unit Price × Quantity = Total Price)
- 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 (Work Efficiency × Work Time = Total Workload)

6. 解决问题 (Problem Solving)

运用乘法知识解决实际生活中的问题。
- 理解题意，找到已知条件和问题，选择合适的计算方法。

四、平行四边形和梯形 (Parallelograms and Trapezoids)

1. 垂直与平行 (Perpendicular and Parallel Lines)

同一平面内，两条直线的位置关系:
- 相交 (Intersecting): 有一个公共交点。
  - 垂直 (Perpendicular): 相交成 直角 (90°) 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的 垂线 (Perpendicular line)，它们的交点叫做 垂足 (Foot of the perpendicular)。符号: ⊥。
- 平行 (Parallel): 不相交。这两条直线互相平行。符号: //。
  - 画垂线和平行线:
- 使用直尺和三角尺。
- 画垂线: "一贴、二移、三画"。 (贴尺、移三角尺过点、画垂线)
- 画平行线: "一贴、二靠、三移、四画"。 (贴尺、靠三角尺、平移三角尺、画平行线)
  - 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线所画的 垂线段 的长度，叫做这点到直线的距离。 (垂线段最短)
  - 平行线间的距离: 两条平行线之间所有垂线段的长度都相等。这个长度就是平行线间的距离。

2. 平行四边形 (Parallelogram)

定义: 两组对边分别平行 的四边形叫做平行四边形。
- 特性:
  - 对边平行且相等。
  - 对角相等。
  - 容易变形 (不稳定性)。
- 高 (Height) 和底 (Base): 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂线段，叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 (高和底是对应的，一个平行四边形有无数条高)
- 画高: 从一个顶点向其对边(或对边延长线)作垂线段。

3. 梯形 (Trapezoid / Trapezium)

定义: 只有一组对边平行 的四边形叫做梯形。
- 各部分名称:
  - 上底 (Upper Base): 平行的一组对边中较短的边。
  - 下底 (Lower Base): 平行的一组对边中较长的边。
  - 腰 (Legs): 不平行的那组对边。
  - 高 (Height): 两条平行线 (上底和下底) 之间的垂线段。 (梯形有无数条高，长度都相等)
- 特殊梯形:
  - 等腰梯形 (Isosceles Trapezoid): 两条腰相等的梯形。 (同一底上的两个角相等)
  - 直角梯形 (Right-angled Trapezoid): 一条腰垂直于两底的梯形。 (有直角)
- 画高: 从上底的一点向下底(或下底延长线)作垂线段。

4. 四边形的关系 (Relationship between Quadrilaterals)

长方形和正方形是特殊的平行四边形。
- 集合图表示包含关系。

五、除数是两位数的除法 (Division with 2-digit Divisors)

1. 口算除法 (Mental Division)

整十数除整十数、几百几十数:
- 利用乘法口诀。 (例: 120 ÷ 30 = 4，想 4 × 30 = 120)
- 利用表内除法。 (例: 120 ÷ 30 看作 12 ÷ 3 = 4)
  - 估算: 将被除数和除数看作与它们接近的整十数或几百几十数进行计算。 (例: 412 ÷ 82 ≈ 400 ÷ 80 = 5)

2. 笔算除法 (Written Division)

竖式计算法则:
1. 从高位除起: 从被除数的高位除起，先看被除数的前两位。
2. 试商: 如果前两位数比除数大，就直接除；如果前两位数比除数小，就看前三位数。除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。
3. 比较: 每次除得的余数必须比除数小。
  - 试商方法:
  - 四舍五入法: 把除数看作与它接近的整十数来试商。
    - "四舍": 除数看小了，初商可能偏大，需要调小。
    - "五入": 除数看大了，初商可能偏小，需要调大。
  - 同头试商法/折半估商法等: 根据具体数字特点灵活试商。
  - 商的变化规律 (Patterns in Quotients):
  - 被除数不变: 除数乘 (或除以) 几 (0除外)，商反而除以 (或乘) 几。
  - 除数不变: 被除数乘 (或除以) 几 (0除外)，商也乘 (或除以) 几。
  - 商不变的性质: 被除数和除数同时乘 (或除以) 相同的数 (0除外)，商不变。 (应用: 简化计算，如 300 ÷ 25 = (300×4) ÷ (25×4) = 1200 ÷ 100 = 12)
  - 有余数的除法:
  - 关系式: 被除数 = 除数 × 商 + 余数
  - 应用商不变性质时，余数也要跟着乘 (或除以) 相同的数。
  - 验算:
  - 没有余数: 除数 × 商 = 被除数
  - 有余数: 除数 × 商 + 余数 = 被除数

3. 解决问题 (Problem Solving)

运用除法知识解决 "包含除" (求一个数里包含多少个另一个数) 和 "等分除" (把一个数平均分成几份，求每份是多少) 的实际问题。
- 注意带单位和答语。

六、统计 (Statistics)

1. 条形统计图 (Bar Graphs)

作用: 能清楚地表示出 每个项目具体数量的多少，便于比较。
- 种类 (本册主要涉及):
  - 单式条形统计图 (Single Bar Graph): 表示一组数据。
  - (可能初步接触) 复式条形统计图 (Double/Multiple Bar Graph): 同时表示两组或多组相关数据，便于比较差异。 (用不同颜色或图例区分)
- 组成部分:
  - 标题 (Title): 说明统计图的主题。
  - 图例 (Legend): (复式条形图需要) 说明不同条形代表的内容。
  - 横轴/纵轴 (Axes): 标明项目和数量。
  - 刻度 (Scale): 表示单位数量。
  - 直条 (Bars): 高度或长度代表数量。
- 制作步骤:
  1. 收集、整理数据。
  2. 画坐标轴，确定单位长度 (刻度)。
  3. 根据数据画直条。
  4. 写标题和必要说明。
- 数据分析:
  - 从图中读取具体数值。
  - 比较不同项目数量的大小、差异。
  - 计算总数、平均数 (可能涉及)。
  - 根据图表信息作出简单判断和预测。

七、数学广角 (Mathematical Corner / Problem Solving Strategies)

1. 优化 - 合理安排时间 (Optimization - Time Management)

目标: 寻找最优方案，使完成一系列事情所用的 总时间最短。
- 策略:
  - 分析各项任务所需时间及先后顺序/依赖关系。
  - 找出可以 同时进行 的事情。
  - 运用 流程图 或 列表法 帮助分析。
- 关键: 区分哪些事必须按顺序做，哪些事可以并行处理，最大限度地利用时间。
- 示例: 烧水 (10分钟)、洗茶杯 (2分钟)、找茶叶 (1分钟)、沏茶 (1分钟)。最优流程: 烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶。总时间 = 烧水时间 + 沏茶时间 = 10 + 1 = 11分钟。

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