《七年级上册数学第三章思维导图》

mermaid mindmap root(第三章: 一元一次方程) (一、从算式到方程) (1. 方程的概念) ::icon(fa fa-book)

• 定义: 含有 未知数 的 等式 叫做方程 (An equality containing an unknown variable is called an equation)。
• 关键要素:
  • 未知数 (Unknown): 通常用字母表示 (如 x, y, z)。
  • 等式 (Equality): 用等号 "=" 连接。
• 辨析:
  • 必须是等式 (如 x + 5 不是方程)。
  • 必须含有未知数 (如 3 + 2 = 5 不是方程，是等式)。
• 例子: 2x + 3 = 7, y - 5 = 0, 3a = 12 都是方程。 (2. 方程的解) ::icon(fa fa-key)
• 定义: 使方程左右两边相等的 未知数的值，叫做方程的解 (The value of the unknown that makes both sides of the equation equal is called the solution of the equation)。
• 注意: 方程的解是一个 数值。
• 例子: 对于方程 2x + 3 = 7，当 x = 2 时，左边 = 2 * 2 + 3 = 7，右边 = 7，左边 = 右边，所以 x = 2 是该方程的解。 (3. 解方程) ::icon(fa fa-puzzle-piece)
• 定义: 求方程的解的过程叫做解方程 (The process of finding the solution(s) of an equation is called solving the equation)。

• 目标: 通过变形，将方程最终化为 x = a (a为常数) 的形式。

  (二、等式的性质) ::icon(fa fa-balance-scale) (1. 等式的性质1)

• 内容: 等式两边 加 (或减) 同一个 数 (或式子)，结果仍相等 (If the same number or expression is added to (or subtracted from) both sides of an equality, the equality still holds)。
• 符号表示: 如果 a = b，那么 a ± c = b ± c。
• 应用: 主要用于 移项 (Transposition)。 (2. 等式的性质2)
• 内容: 等式两边 乘 同一个 数，或 除以 同一个 不为0 的数，结果仍相等 (If both sides of an equality are multiplied by the same number, or divided by the same non-zero number, the equality still holds)。
• 符号表示: 如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b 且 c ≠ 0，那么 a / c = b / c。
• 强调: 除数不能为0！

• 应用: 主要用于 系数化为1 (Making the coefficient of the variable 1) 和 去分母 (Eliminating denominators)。

  (三、解一元一次方程) ::icon(fa fa-cogs) (1. 一元一次方程的概念)

• 定义: 只含有 一个 未知数 (元)，未知数的 次数 都是 1，等号两边都是 整式，这样的方程叫做一元一次方程 (An equation containing only one variable, where the highest power of the variable is 1, and both sides are integral expressions, is called a linear equation with one variable)。
• 标准形式: ax + b = 0 (其中 a ≠ 0)。a 是 一次项系数，b 是 常数项。
• 最简形式: ax = b (其中 a ≠ 0)。
• 判断要点:
  • 一元: 只含一个未知数。
  • 一次: 未知数的最高次数是1。
  • 整式方程: 分母中不含未知数。
  • 系数不为0: a ≠ 0 保证未知数的项存在。
• 例子: 3x - 5 = 1, y/2 + 1 = 5 是一元一次方程。 x² + 1 = 5 (二次), x + y = 3 (二元), 1/x = 2 (分式方程) 都不是一元一次方程。 (2. 解一元一次方程的一般步骤) ::icon(fa fa-list-ol)
• ① 去分母 (Eliminate denominators):
  • 依据: 等式的性质2。
  • 方法: 方程两边 所有项 都乘以各分母的 最小公倍数 (LCM)。
  • 注意: 不要漏乘不含分母的项；注意分数线有括号的作用，去分母后若分子是多项式要加括号。
• ② 去括号 (Remove parentheses):
  • 依据: 乘法分配律，去括号法则。
  • 方法:
    • 括号前是 "+" 号，去掉括号，括号内各项符号不变。
    • 括号前是 "-" 号，去掉括号，括号内各项 都要变号。
    • 括号前有系数 (数字)，将系数乘以括号内 每一项。
  • 注意: 符号变化，不要漏乘。
• ③ 移项 (Transpose terms):
  • 依据: 等式的性质1。
  • 方法: 把含有未知数的项都移到方程的 一边 (通常是左边)，把常数项都移到方程的 另一边 (通常是右边)。
  • 注意: 移项 必须变号！(本质是等式两边同时加或减一个项)。
• ④ 合并同类项 (Combine like terms):
  • 依据: 合并同类项法则 (系数相加，字母和字母指数不变)。
  • 方法: 将方程两边的同类项分别合并，化为 ax = b 的形式。
• ⑤ 系数化为1 (Make the coefficient 1):
  • 依据: 等式的性质2。
  • 方法: 方程两边同时 除以 未知数的 系数 a (a ≠ 0)。
  • 注意: 系数及其符号一起除。解可以写成 x = b/a。 (3. 检验 (Verification))
• 方法: 将求得的解代入 原方程 的左右两边，分别计算。
• 判断: 若左边 = 右边，则该值是原方程的解；否则不是。

• 意义: 检查计算过程是否有误。

  (四、实际问题与一元一次方程) ::icon(fa fa-lightbulb) (1. 建立方程模型解决实际问题的一般过程) ::icon(fa fa-road)

• ① 审 (Analyze): 仔细阅读题目，理解题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。
• ② 设 (Set up): 选择一个合适的未知量，用字母表示 (如设为 x)。通常设问题直接要求的量，或设一个基础量。
• ③ 找 (Find): 找出问题中能够表示 全部 数量关系的 相等关系 (Equality Relationship)。这是列方程的关键。
• ④ 列 (Formulate): 根据找出的相等关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出 一元一次方程。
• ⑤ 解 (Solve): 运用解一元一次方程的步骤，求出未知数的值。
• ⑥ 验 (Verify):
  • 检验1 (数学): 将解代入所列方程，看左右是否相等。
  • 检验2 (实际): 检验求出的解是否符合问题的 实际意义 (如人数不能是负数或分数，长度不能是负数等)。
• ⑦ 答 (Answer): 根据检验结果，清晰、完整地写出答案，并带上单位。 (2. 常见的相等关系类型) ::icon(fa fa-link)
• 行程问题 (Travel Problems):
  • 基本关系: 路程 = 速度 × 时间 (s = vt)。
  • 变形: 时间 = 路程 / 速度 (t = s / v)；速度 = 路程 / 时间 (v = s / t)。
  • 相遇问题: 甲路程 + 乙路程 = 总路程 (同地反向)；速度和 × 时间 = 总路程 (相向而行)。
  • 追及问题: 快者路程 - 慢者路程 = 追及距离 (初始距离)；速度差 × 时间 = 追及距离。
  • 流水问题: 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。
• 工程问题 (Work Problems):
  • 基本关系: 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 (W = P × t)。
  • 通常设工作总量为 "1"。
  • 工作效率 = 工作总量 / 工作时间。
  • 工作时间 = 工作总量 / 工作效率。
  • 合作问题: 甲效率 + 乙效率 = 合作效率；(甲效率 + 乙效率) × 合作时间 = 工作总量。
• 销售与利润问题 (Sales and Profit Problems):
  • 利润 = 售价 - 成本 (进价)。
  • 利润率 = 利润 / 成本 × 100%。
  • 售价 = 成本 × (1 + 利润率)。
  • 打折: 售价 = 标价 × 折扣率 (如八折即乘以 80%)。
• 分配与配套问题 (Distribution and Matching Problems):
  • 抓住 总量不变 或 配套比例 列方程。例如，总人数不变，总物品数不变，或者一个桌子配几把椅子等比例关系。
• 数字问题 (Number Problems):
  • 理解多位数的表示方法 (如两位数可表示为 10a + b)。
  • 抓住数字间或新旧数字构成的数之间的关系列方程。
• 几何图形问题 (Geometric Problems):
  • 利用周长、面积、体积等公式建立相等关系。
  • 例如: 周长相等，面积变化等。

• 储蓄问题 (Savings Problems):

  • 本息和 = 本金 + 利息。
  • 利息 = 本金 × 利率 × 存期。
  • 注意区分税前利息和税后利息（如果涉及利息税）。

  (五、思想方法总结) ::icon(fa fa-brain)

  • 方程思想: 将实际问题中的未知量用字母表示，通过寻找相等关系，转化为数学方程模型来解决问题。
  • 化归思想: 将复杂问题（如带分母、括号的方程）通过一系列变形（去分母、去括号等）转化为简单问题（ax = b形式）。
  • 数形结合: 在某些问题（如行程问题）中借助线段图等图形分析数量关系。
  • 模型思想: 认识到不同类型的实际问题可能对应同一类方程模型（如行程、工程、销售等都可能用 总量 = 单位量 × 数量 的思路）。