《数学四上第三单元思维导图》
一、单元概述
- 单元名称： 第三单元：运算律
- 核心概念： 运算律的理解、掌握与应用，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
- 学习目标：
- 理解并掌握加法和乘法的交换律、结合律的意义，能用字母表示运算律。
- 能运用运算律进行简便计算，提高计算能力。
- 培养学生的观察、比较、分析和归纳概括的能力。
- 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
- 重要性：
- 是小学阶段重要的数学基础，为后续学习更复杂的运算和代数知识奠定基础。
- 是提高计算效率和解决问题能力的关键。
- 培养学生数学思维的灵活性和创造性。
二、加法运算律
2.1 加法交换律
- 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
- 字母表示： a + b = b + a
- 核心理解：
- 仅仅是改变加数的顺序，结果不变。
- 适用于多个加数相加，可以任意交换加数的位置。
- 典型例题：
- 35 + 48 = 48 + 35
- 12 + 25 + 8 = 12 + 8 + 25
- 应用场景：
- 凑整计算：将能凑成整十、整百、整千的数先相加。
- 验算加法：交换加数位置，重新计算，验证结果是否一致。
2.2 加法结合律
- 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
- 字母表示： (a + b) + c = a + (b + c)
- 核心理解：
- 改变运算顺序，但必须是加法运算。
- 适用于多个加数相加，可以任意改变加法运算的先后顺序。
- 典型例题：
- (23 + 17) + 55 = 23 + (17 + 55)
- 14 + 6 + 24 + 36 = (14 + 36) + (6 + 24)
- 应用场景：
- 凑整计算：将能凑成整十、整百、整千的数结合在一起先计算。
- 简化计算：选择合适的运算顺序，使计算更加简便。
2.3 加法运算律的综合运用
- 核心思想： 灵活运用加法交换律和加法结合律，简化计算。
- 解题技巧：
- 观察算式特点，寻找能凑整的数。
- 运用交换律改变加数位置，运用结合律改变运算顺序。
- 拆分数字，使计算更简便。
- 典型例题：
- 175 + 28 + 25 + 72 = (175 + 25) + (28 + 72) = 200 + 100 = 300
- 99 + 37 = 100 + 37 - 1 = 136
三、乘法运算律
3.1 乘法交换律
- 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
- 字母表示： a × b = b × a
- 核心理解：
- 仅仅是改变因数的顺序，结果不变。
- 适用于多个因数相乘，可以任意交换因数的位置。
- 典型例题：
- 25 × 4 = 4 × 25
- 2 × 13 × 5 = 2 × 5 × 13
- 应用场景：
- 凑整计算：将能凑成整十、整百、整千的数先相乘。
- 验算乘法：交换因数位置，重新计算，验证结果是否一致。
3.2 乘法结合律
- 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
- 字母表示： (a × b) × c = a × (b × c)
- 核心理解：
- 改变运算顺序，但必须是乘法运算。
- 适用于多个因数相乘，可以任意改变乘法运算的先后顺序。
- 典型例题：
- (25 × 4) × 7 = 25 × (4 × 7)
- 8 × 125 × 3 = (8 × 125) × 3
- 应用场景：
- 凑整计算：将能凑成整十、整百、整千的数结合在一起先计算。
- 简化计算：选择合适的运算顺序，使计算更加简便。
3.3 乘法分配律
- 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
- 字母表示： (a + b) × c = a × c + b × c
- 逆运算： a × c + b × c = (a + b) × c
- 核心理解：
- 将乘法分配到加法的每一项上。
- 可以从左往右算，也可以从右往左算（逆用）。
- 典型例题：
- (4 + 6) × 5 = 4 × 5 + 6 × 5
- 12 × 99 = 12 × (100 - 1) = 12 × 100 - 12 × 1 = 1200 - 12 = 1188
- 25 × 37 + 25 × 63 = 25 × (37 + 63) = 25 × 100 = 2500
- 应用场景：
- 将复杂的乘法运算转化为简单的乘法和加法运算。
- 简化计算，特别是当其中一个因数接近整十、整百、整千时。
3.4 乘法运算律的综合运用
- 核心思想： 灵活运用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，简化计算。
- 解题技巧：
- 观察算式特点，寻找能凑整的数。
- 运用交换律改变因数位置，运用结合律改变运算顺序。
- 运用分配律进行拆分或合并。
- 牢记一些常用的凑整组合：2 × 5 = 10，4 × 25 = 100，8 × 125 = 1000。
- 典型例题：
- 25 × 16 = 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400
- 125 × 88 = 125 × 8 × 11 = 1000 × 11 = 11000
- 101 × 32 = (100 + 1) × 32 = 100 × 32 + 1 × 32 = 3200 + 32 = 3232
四、运算律在解决问题中的应用
- 审题分析： 仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 选择合适的方法： 观察题目数据特点，选择合适的运算律进行简便计算。
- 列式计算： 根据题意列出算式，运用运算律进行计算。
- 检查验算： 检查计算过程是否正确，结果是否合理。
- 书写答案： 写清答案，并注意单位。
五、易错点与注意事项
- 分清运算符号： 只有加法才能运用加法交换律和结合律，只有乘法才能运用乘法交换律和结合律。
- 准确运用乘法分配律： 乘法分配律的逆运用容易出错，要注意提取公因数后，括号内剩余的数字。
- 注意运算顺序： 在没有括号的情况下，先算乘除，后算加减；有括号的，先算括号里面的。
- 灵活运用简便计算： 不要为了简便计算而盲目套用运算律，要根据实际情况选择合适的方法。
- 养成良好的计算习惯： 书写规范，认真验算，提高计算准确率。
六、总结与拓展
- 总结： 本单元学习了加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，并能够运用这些运算律进行简便计算和解决实际问题。
- 拓展：
- 学习减法和除法的性质，以及这些性质在简便计算中的应用。
- 学习更复杂的简便计算方法，如拆分法、约分法等。
- 将运算律应用到代数式的化简和计算中。