《一元二次方程和二次函数的思维导图》

一、一元二次方程

1. 定义与一般形式

• 定义: 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
• 一般形式: ax² + bx + c = 0 (a≠0)，其中a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

2. 解法

• 直接开平方法: 适用于形如 (x+m)² = n (n≥0) 的方程。
  • 步骤：
    1. 将方程化为 (x+m)² = n 的形式。
    2. 两边同时开平方，得到 x+m = ±√n。
    3. 解出 x = -m ±√n。
• 配方法: 通过配方，将方程转化为 (x+m)² = n 的形式，再用直接开平方法求解。
  • 步骤：
    1. 将二次项系数化为1。
    2. 将常数项移到等号右边。
    3. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
    4. 将左边配成完全平方公式，右边化简。
    5. 用直接开平方法求解。
• 公式法: 通过求根公式直接求解。
  • 求根公式: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a （Δ = b²-4ac ≥ 0）
  • 判别式Δ: Δ = b²-4ac
    • Δ > 0：有两个不相等的实数根。
    • Δ = 0：有两个相等的实数根。
    • Δ < 0：没有实数根。
• 因式分解法: 将方程左边分解成两个一次因式的积，使方程转化为 A(x) * B(x) = 0 的形式，则A(x)=0或B(x)=0。
  • 常用方法：
    • 提取公因式法
    • 公式法（平方差公式、完全平方公式）
    • 十字相乘法

3. 根与系数的关系 (韦达定理)

• 前提: 方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 有两个实数根 x₁ 和 x₂。
• 关系:
  • x₁ + x₂ = -b/a
  • x₁ * x₂ = c/a
• 应用:
  • 已知两根之和与积，求方程。
  • 已知一个根，求另一个根及未知系数。
  • 不解方程，判断两根的符号。
  • 与二次函数结合，解决函数图像与坐标轴交点问题。

4. 应用题

• 类型: 增长率问题、传播问题、面积问题、利润问题等。
• 步骤:
  1. 审题，理解题意，找出等量关系。
  2. 设未知数，根据等量关系列方程。
  3. 解方程，并检验解的合理性。
  4. 写出答案。

二、二次函数

1. 定义与一般形式

• 定义: 形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数，其中a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
• 顶点式: y = a(x-h)² + k (a≠0)，其中 (h, k) 是顶点坐标。
• 交点式: y = a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)，其中 x₁ 和 x₂ 是函数图像与x轴的交点坐标。

2. 图像与性质

• 图像: 抛物线
• 性质:
  • 开口方向: 由 a 的符号决定。
    • a > 0：开口向上，有最小值。
    • a < 0：开口向下，有最大值。
  • 对称轴: x = -b / 2a (顶点式：x=h)
  • 顶点坐标: (-b / 2a, (4ac-b²) / 4a) (顶点式：(h, k))
  • 与y轴的交点: (0, c)
  • 与x轴的交点: 令 y = 0，解方程 ax² + bx + c = 0。
    • Δ > 0：有两个交点。
    • Δ = 0：有一个交点。
    • Δ < 0：没有交点。
  • 增减性:
    • a > 0：对称轴左侧递减，对称轴右侧递增。
    • a < 0：对称轴左侧递增，对称轴右侧递减。

3. 图像的平移

• 平移规律:
  • y = ax² + bx + c 向左平移 m 个单位得到 y = a(x+m)² + b(x+m) + c
  • y = ax² + bx + c 向右平移 m 个单位得到 y = a(x-m)² + b(x-m) + c
  • y = ax² + bx + c 向上平移 n 个单位得到 y = ax² + bx + c + n
  • y = ax² + bx + c 向下平移 n 个单位得到 y = ax² + bx + c - n
• 技巧: 顶点坐标的平移与函数图像的平移一致。

4. 确定二次函数表达式

• 已知三个点的坐标: 代入一般形式 y = ax² + bx + c，解三元一次方程组。
• 已知顶点坐标和另一个点的坐标: 代入顶点式 y = a(x-h)² + k，求出 a。
• 已知图像与x轴的两个交点坐标和另一个点的坐标: 代入交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂)，求出 a。

5. 二次函数的应用

• 求最大值/最小值问题: 利用顶点坐标或配方法求解。
  • 几何图形面积问题。
  • 商品利润问题。
  • 桥梁隧道问题。
• 解决实际问题:
  • 根据实际问题建立二次函数模型。
  • 利用二次函数的性质解决问题。

6. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系

• 一元二次方程的根: 是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
• 一元二次不等式: 可以通过二次函数图像来求解。
  • ax² + bx + c > 0 (a>0)：解集为 x < x₁ 或 x > x₂ (x₁, x₂为方程 ax² + bx + c = 0 的根)。
  • ax² + bx + c < 0 (a>0)：解集为 x₁ < x < x₂ (x₁, x₂为方程 ax² + bx + c = 0 的根)。

三、总结

• 掌握一元二次方程的解法和根与系数的关系。
• 理解二次函数的定义、图像和性质。
• 熟练运用二次函数解决实际问题。
• 掌握二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系。

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