《四年级运算律思维导图》
一、 加法运算律
1. 加法交换律
- 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
- 公式： a + b = b + a
- 示例：
- 3 + 5 = 5 + 3 = 8
- 128 + 72 = 72 + 128 = 200
- 用途：
- 简化计算：例如，在计算 37 + 63 + 45 时，可以先算 37 + 63 = 100，再算 100 + 45 = 145，比直接计算更容易。
- 验算加法：通过交换加数位置再次计算，可以检验计算结果是否正确。
- 注意：
- 加法交换律只适用于加法运算。
- 在连加算式中，可以任意交换加数的位置。
2. 加法结合律
- 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
- 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
- 示例：
- (10 + 20) + 30 = 10 + (20 + 30) = 60
- (45 + 55) + 15 = 45 + (55 + 15) = 115
- 用途：
- 简化计算：例如，在计算 23 + 36 + 64 时，可以先算 36 + 64 = 100，再算 23 + 100 = 123。
- 使一些计算变为整数或更容易计算的数，从而提高计算速度。
- 注意：
- 加法结合律只适用于加法运算。
- 结合律通常与交换律结合使用，以达到更简便的计算效果。
3. 加法运算律的应用
- 混合运算： 在混合运算中，灵活运用加法交换律和结合律可以简化计算过程，提高计算效率。
- 解决问题： 很多实际问题可以通过运用加法运算律来简化计算，快速得出答案。
- 估算： 加法运算律可以辅助估算，例如，在估算 298 + 403 时，可以把 298 看作 300，403 看作 400，从而快速得出结果约为 700。
二、 乘法运算律
1. 乘法交换律
- 定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
- 公式： a × b = b × a
- 示例：
- 4 × 6 = 6 × 4 = 24
- 25 × 4 = 4 × 25 = 100
- 用途：
- 简化计算：例如，在计算 25 × 37 × 4 时，可以先算 25 × 4 = 100，再算 100 × 37 = 3700。
- 验算乘法：通过交换乘数位置再次计算，可以检验计算结果是否正确。
- 注意：
- 乘法交换律只适用于乘法运算。
- 在连乘算式中，可以任意交换乘数的位置。
2. 乘法结合律
- 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
- 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
- 示例：
- (2 × 5) × 8 = 2 × (5 × 8) = 80
- (125 × 8) × 7 = 125 × (8 × 7) = 7000
- 用途：
- 简化计算：例如，在计算 8 × 25 × 125 时，可以先算 8 × 125 = 1000，再算 1000 × 25 = 25000。
- 使一些计算变为整百、整千等数，从而提高计算速度。
- 注意：
- 乘法结合律只适用于乘法运算。
- 结合律通常与交换律结合使用，以达到更简便的计算效果。
3. 乘法分配律
- 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
- 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
- 反向公式： a × c + b × c = (a + b) × c
- 示例：
- (4 + 5) × 6 = 4 × 6 + 5 × 6 = 54
- 8 × 125 + 2 × 125 = (8 + 2) × 125 = 1250
- 用途：
- 简化计算：例如，在计算 (40 + 4) × 25 时，可以先算 40 × 25 = 1000，再算 4 × 25 = 100，最后算 1000 + 100 = 1100。
- 解决实际问题：例如，求长方形的周长，可以运用乘法分配律。
- 注意：
- 乘法分配律既适用于加法，也适用于减法： (a - b) × c = a × c - b × c ，a × c - b × c = (a - b) × c
- 灵活运用正向和反向公式，可以简化计算。
4. 乘法运算律的应用
- 混合运算： 在混合运算中，灵活运用乘法交换律、结合律和分配律可以简化计算过程，提高计算效率。
- 解决问题： 很多实际问题可以通过运用乘法运算律来简化计算，快速得出答案。例如，求多个相同物品的总价。
- 简便计算： 找出算式中可以凑成整十、整百、整千的数，然后运用运算律进行简便计算。
三、 减法和除法的性质
1. 减法的性质
- 性质一： 一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。
- 公式： a - b - c = a - (b + c)
- 性质二： 从一个数里减去两个数的和，等于这个数分别减去这两个数。
- 公式： a - (b + c) = a - b - c
- 应用： 简化计算，解决实际问题。
2. 除法的性质
- 性质一： 一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。
- 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
- 性质二： 一个数除以两个数的积，等于这个数分别除以这两个数。
- 公式： a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c
- 应用： 简化计算，解决实际问题。
四、 综合应用
- 在复杂的计算中，要认真观察算式的特点，灵活运用各种运算律和性质，将算式进行变形，从而简化计算过程。
- 要养成良好的计算习惯，做到认真审题、细心计算、及时检验。
- 多做练习，熟练掌握各种运算律和性质，提高计算能力。
五、 总结
四年级学习的运算律是数学学习的重要基础，掌握这些运算律不仅可以简化计算，提高计算速度，还能帮助我们更好地理解数学的本质。 通过学习和应用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及减法和除法的性质，可以解决各种复杂的计算问题，为后续的数学学习打下坚实的基础。