运算定律思维导图
《运算定律思维导图》
一、加法运算定律
1. 加法交换律
- 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
- 公式： a + b = b + a
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 17 + 23 + 83 = 17 + 83 + 23 = 100 + 23 = 123
- 验算加法： 交换加数位置重新计算，验证结果是否一致。
- 算式变形： a + b + c = a + c + b = b + a + c = ...
2. 加法结合律
- 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
- 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 38 + 16 + 24 = 38 + (16 + 24) = 38 + 40 = 78
- 分组计算： 将多个数分组相加，使计算更加简便。
- 算式变形： a + b + c + d = (a + b) + (c + d) = a + (b + c + d) = ...
- 与加法交换律的结合：
- a + b + c = a + c + b = c + b + a = (a + c) + b = ...
二、乘法运算定律
1. 乘法交换律
- 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
- 公式： a × b = b × a
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700
- 验算乘法： 交换因数位置重新计算，验证结果是否一致。
- 单位换算： 2 米 = 200 厘米 = 2 × 100 厘米
- 算式变形： a × b × c = a × c × b = b × a × c = ...
2. 乘法结合律
- 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
- 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 8 × 125 × 7 = 8 × (125 × 7) = 8 × 875 不好算， 8 × 125 × 7 = (8 × 125) × 7 = 1000 × 7 = 7000
- 分组计算： 将多个数分组相乘，使计算更加简便。
- 算式变形： a × b × c × d = (a × b) × (c × d) = a × (b × c × d) = ...
- 与乘法交换律的结合：
- a × b × c = a × c × b = c × b × a = (a × c) × b = ...
3. 乘法分配律
- 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。
- 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
- 适用范围： 所有实数
- 逆运算： a × c + b × c = (a + b) × c （提取公因数）
- 常见应用：
- 简化计算： (40 + 4) × 25 = 40 × 25 + 4 × 25 = 1000 + 100 = 1100
- 复杂算式分解： 将复杂算式分解成简单算式，分别计算后再合并。
- 解决实际问题： 例如计算几个相同单价物品的总价。
- 扩展形式：
- (a - b) × c = a × c - b × c
- a × (b + c) = a × b + a × c
- a × (b - c) = a × b - a × c
- a × c - b × c = (a - b) × c
三、减法的性质
1. 减法性质 1
- 定义： 一个数连续减去两个数，可以减去这两个数的和。
- 公式： a - b - c = a - (b + c)
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 100 - 37 - 63 = 100 - (37 + 63) = 100 - 100 = 0
2. 减法性质 2
- 定义： 从一个数中减去两个数的和，可以连续减去这两个数。
- 公式： a - (b + c) = a - b - c
- 适用范围： 所有实数
- 常见应用：
- 简化计算： 256 - (56 + 44) = 256 - 56 - 44 = 200 - 44 = 156
四、除法的性质
1. 除法性质 1
- 定义： 一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。
- 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
- 适用范围： b ≠ 0, c ≠ 0, b × c ≠ 0
- 常见应用：
- 简化计算： 420 ÷ 7 ÷ 6 = 420 ÷ (7 × 6) = 420 ÷ 42 = 10
2. 除法性质 2
- 定义： 从一个数中除以两个数的积，可以连续除以这两个数。
- 公式： a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c
- 适用范围： b ≠ 0, c ≠ 0, b × c ≠ 0
- 常见应用：
- 简化计算： 540 ÷ (9 × 6) = 540 ÷ 9 ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10
3. 除法的分配律 (易错)
- (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (c ≠ 0)
- (a - b) ÷ c = a ÷ c - b ÷ c (c ≠ 0)
- 注意： a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c
- 注意： a ÷ (b - c) ≠ a ÷ b - a ÷ c
五、综合应用
- 灵活运用： 在实际计算中，需要根据具体情况灵活运用各种运算定律，选择最简便的方法。
- 注意符号： 运算过程中要注意符号的变化，特别是减法和除法。
- 培养数感： 通过大量的练习，培养良好的数感，提高计算速度和准确率。
- 结合实际问题： 将运算定律应用于解决实际问题，加深对运算定律的理解和应用。
- 逆向思维： 学会从不同的角度思考问题，例如逆用乘法分配律等。
六、重要提示
- 理解本质： 不要死记硬背公式，要理解运算定律的本质含义。
- 避免错误： 注意易错点，例如除法分配律的错误应用。
- 勤加练习： 只有通过大量的练习，才能熟练掌握运算定律。
- 举一反三： 学会举一反三，将运算定律应用于更广泛的领域。
- 持续学习： 随着学习的深入，运算定律的应用会越来越广泛。
