《五年级上册人教版第六单元思维导图数学》

一、单元总览：多边形的面积

• 核心概念： 将复杂图形转化为已学过的基本图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）求面积，运用转化、割补、拼组等数学思想方法。

• 学习目标：

  • 理解平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程。
  • 掌握并灵活运用平行四边形、三角形、梯形面积公式计算面积。
  • 能运用面积公式解决实际问题。
  • 理解组合图形的含义，掌握计算组合图形面积的方法。

• 单元重点： 平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导和运用。

• 单元难点： 灵活运用面积公式解决实际问题，理解组合图形的分解和组合。

二、思维导图详细内容：

2.1 平行四边形的面积

• 定义： 两组对边分别平行的四边形。
• 面积公式：
  • 文字表达：平行四边形的面积 = 底 × 高
  • 字母表达：S = a × h
• 公式推导：
  • 转化法：将平行四边形沿高剪开，通过平移，转化成长方形。
  • 等积变形：平行四边形的面积等于转化后的长方形的面积。
  • 对应关系：长方形的长对应平行四边形的底，长方形的宽对应平行四边形的高。
• 练习要点：
  • 明确底和高的对应关系，即高是底边上的高。
  • 选择正确的底和高计算面积。
  • 已知面积和底（或高），求高（或底）。

2.2 三角形的面积

• 定义： 由三条线段围成的封闭图形。
• 面积公式：
  • 文字表达：三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2
  • 字母表达：S = a × h ÷ 2 或 S = (a × h) / 2
• 公式推导：
  • 拼组法：将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
  • 关系：三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
  • 对应关系：三角形的底对应平行四边形的底，三角形的高对应平行四边形的高。
• 练习要点：
  • 明确底和高的对应关系。钝角三角形的高可能在三角形外部。
  • 选择正确的底和高计算面积。
  • 已知面积和底（或高），求高（或底）。
  • 等底等高的三角形面积相等。
  • 一个平行四边形可以分割成两个完全一样的三角形。

2.3 梯形的面积

• 定义： 只有一组对边平行的四边形。
  • 上底：较短的平行边。
  • 下底：较长的平行边。
  • 高：两底之间的距离。
• 面积公式：
  • 文字表达：梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
  • 字母表达：S = (a + b) × h ÷ 2 或 S = [(a + b) × h] / 2
• 公式推导：
  • 拼组法：将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。
  • 关系：梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
  • 对应关系：梯形的上底加下底的和对应平行四边形的底，梯形的高对应平行四边形的高。
• 特殊梯形：
  • 直角梯形：有一个角是直角的梯形。
  • 等腰梯形：两腰相等的梯形。
• 练习要点：
  • 明确上底、下底和高的概念。
  • 正确运用公式计算面积。
  • 已知面积、上底（或下底）和高，求下底（或上底）。
  • 理解梯形面积公式的变形应用。

2.4 组合图形的面积

• 定义： 由几个简单的图形组合而成的图形。
• 计算方法：
  • 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再相加。
  • 添补法：将组合图形添补成一个或几个简单的图形，计算出添补后的图形面积，再减去添补部分的面积。
• 解题思路：
  • 观察图形，确定分割或添补的方法。
  • 根据已知条件，计算出各个简单图形的必要数据。
  • 运用面积公式计算。
• 注意事项：
  • 分割或添补时，尽量选择较少的图形，方便计算。
  • 注意公共边长度的计算，有些需要间接计算。
  • 考虑多种解法，选择最简便的方法。
• 常见组合图形：
  • 由长方形和三角形组成的图形。
  • 由长方形和梯形组成的图形。
  • 由多个长方形组成的图形。

2.5 不规则图形的面积估算

• 方法：
  • 数方格法：将不规则图形放在透明方格纸上，数出完整方格和不完整方格的数量。
  • 近似转化法：将不规则图形近似看作规则图形（例如，近似看作平行四边形、三角形等）进行估算。
• 注意事项：
  • 数方格时，一个完整的方格算1个面积单位，不满一格的按半格计算，或者将不满一格的凑成一格计算。
  • 估算时，选择最接近的规则图形，误差会更小。

三、 易错点提醒

• 平行四边形、三角形、梯形面积公式中“高”的理解，必须垂直于底边。
• 三角形面积公式和梯形面积公式计算结果要除以2。
• 计算组合图形面积时，容易漏掉公共边长度的计算。
• 解决实际问题时，单位统一问题。
• 在数方格时，遗漏或重复计数方格。

四、 典型例题分析

• （例1）一个平行四边形的底是10厘米，高是6厘米，它的面积是多少平方厘米？
• （例2）一个三角形的底是8米，高是5米，它的面积是多少平方米？
• （例3）一个梯形的上底是4分米，下底是6分米，高是5分米，它的面积是多少平方分米？
• （例4）计算如图所示组合图形的面积。（附带图形，例如：一个长方形和一个三角形拼在一起）

五、 学习方法建议

• 认真理解面积公式的推导过程，掌握转化思想。
• 多做练习，熟练运用面积公式。
• 遇到实际问题，要认真分析题意，选择合适的解题方法。
• 画图辅助理解题意，可以帮助分析问题。
• 课后及时复习，巩固所学知识。
• 积极参与课堂讨论，与同学交流学习心得。