《关于比的思维导图六年级上册》
一、比的定义与意义
- 1.1 比的定义：
- 两个数相除，又叫做两个数的比。
- 前项 ÷ 后项 = 比值
- 符号：：(冒号)
- 1.2 比的意义：
- 表示两个数之间的倍数关系或比例关系。
- 反映两个相关联量的关系程度。
- 可以比较同类量，也可以比较不同类量。
- 1.3 比的各部分名称：
- 前项：比号前面的数。
- 后项：比号后面的数。
- 比值：前项除以后项所得的商。
-
1.4 比与除法、分数的关系：
项目 比 除法 分数 关系 前项：后项 被除数 ÷ 除数 分子/分母 意义 两个数的倍数关系 一种运算 一个数 性质 比的前后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变 被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数大小不变
二、比的化简
- 2.1 化简比的意义：
- 将一个比化成最简整数比。
- 便于比较和计算。
- 2.2 化简比的方法：
- 整数比：
- 找前项和后项的最大公因数，同时除以最大公因数。
- 例如：12：18 = (12÷6)：(18÷6) = 2：3
- 分数比：
- 方法一：先化成整数比，再化简。
- 例如：1/2 : 1/3 = (1/2 × 6):(1/3 × 6) = 3:2
- 方法二：直接利用比的基本性质，前项和后项同时乘分母的最小公倍数。
- 例如：1/2 : 1/3 = (1/2 × 6):(1/3 × 6) = 3:2
- 方法一：先化成整数比，再化简。
- 小数比：
- 方法一：先化成整数比，再化简。
- 例如：0.4 : 0.6 = (0.4 × 10):(0.6 × 10) = 4:6 = 2:3
- 方法二：直接利用比的基本性质，前项和后项同时乘10、100、1000...，使它们都变成整数。
- 例如：0.4 : 0.6 = (0.4 × 10):(0.6 × 10) = 4:6 = 2:3
- 方法一：先化成整数比，再化简。
- 整数比：
- 2.3 最简整数比：
- 前项和后项都是整数，并且互质。
- 2.4 注意事项：
- 化简比的结果是一个比，不是一个数。
- 化简比依据的是比的基本性质。
三、比的应用
- 3.1 按比例分配：
- 把一个数量按照一定的比进行分配。
- 解题步骤：
- 求出总份数。
- 求出每一份代表的数量。
- 分别求出各部分对应的数量。
- 例如：一个班有45人，男生人数与女生人数的比是4:5，求男生和女生各有多少人？
- 总份数：4+5=9
- 每份代表的人数：45÷9=5
- 男生人数：4×5=20（人）
- 女生人数：5×5=25（人）
- 3.2 图形放大与缩小：
- 图形放大或缩小，所有边都按相同的比例变化。
- 比例尺：图上距离与实际距离的比。
- 比例尺 = 图上距离/实际距离
- 实际距离 = 图上距离/比例尺
- 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
- 注意单位换算。
- 3.3 解决与比相关的实际问题：
- 例如：配置一种药水，药粉和水的比是1:50，现有药粉5克，需要多少克水？
- 例如：一种糖水中，糖和水的质量比是1:19，现在有糖50克，可以配制这种糖水多少克？
- 3.4 比的应用的注意事项：
- 理解题意，分清前项和后项。
- 明确总数量和各个部分的比。
- 单位要统一。
- 注意检验答案是否合理。
四、比值的计算
- 4.1 比值的定义: 前项除以后项的商叫做比值。
- 4.2 比值的计算方法:
- 前项 ÷ 后项 = 比值
- 例如：3 : 5 的比值是 3 ÷ 5 = 0.6
- 4.3 比值可以是整数、分数或小数。
- 4.4 比值与比的区别:
- 比：表示两个数的倍数关系。
- 比值：是一个数，表示两个数相除的结果。
五、易错点总结
- 5.1 化简比与求比值的区别：
- 化简比的结果是一个比，形式是 a:b
- 求比值的结果是一个数，可以是整数、分数或小数。
- 5.2 后项不能为0: 比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0，所以比的后项不能为0。
- 5.3 单位不统一时，要先统一单位再进行计算。
- 5.4 比例尺的理解： 分清是放大比例尺还是缩小比例尺。
六、拓展延伸
- 6.1 正比例和反比例： 比的应用的更深层次理解，为初中学习打下基础。
- 6.2 百分数的认识： 百分数是一种特殊的比，后项是100的比。
- 6.3 生活中的比： 比在生活中的应用非常广泛，例如：配料、设计图纸、地图等。鼓励学生在生活中发现和运用比的知识。