《五年级上册数学倍数与因数思维导图》
一、 概念总览
- 中心主题: 倍数与因数
二、 因数
- 定义: 如果整数 a 除以整数 b (b ≠ 0) 所得的商正好是整数而没有余数，我们就说 b 是 a 的因数，或称 b 是 a 的约数。
- 性质:
- 1 是任何非零自然数的因数。
- 一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。
- 一个数的因数的个数是有限的。
- 寻找方法:
- 配对法: 将一个数分解成两个数的乘积，直到所有可能的乘积组合都被找到。 例如：12 的因数：1 x 12, 2 x 6, 3 x 4。 因此，12的因数为1, 2, 3, 4, 6, 12。
- 除法法: 用1到该数本身依次去除该数，如果能整除，那么除数和商就是该数的因数。
- 特殊情况:
- 0 没有因数（因为0不能作为除数）。
- 1 只有 1 个因数，即它本身。
三、 倍数
- 定义: 如果整数 a 能被整数 b (b ≠ 0) 整除，那么 a 就叫做 b 的倍数。
- 性质:
- 一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
- 一个数的倍数的个数是无限的。
- 寻找方法:
- 乘法法: 用该数依次乘以1, 2, 3, ... 得到的结果就是该数的倍数。例如：3的倍数：3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9,...
- 与因数的联系: 因数和倍数是相互依存的概念。 如果 a 是 b 的倍数，那么 b 就是 a 的因数。
四、 2, 3, 5 的倍数的特征
- 2 的倍数 (偶数): 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。
- 判断依据: 只需要看个位数字。
- 5 的倍数: 个位上是 0 或 5 的数。
- 判断依据: 只需要看个位数字。
- 3 的倍数: 各个数位上的数字之和是 3 的倍数。
- 判断依据: 将各个数位的数字相加，判断和是否为3的倍数。 例如：123, 1+2+3 = 6, 6 是 3 的倍数，所以123是3的倍数。
- 同时是 2 和 5 的倍数: 个位上必须是 0。
- 既是 3 的倍数又是 2 的倍数: 必须是偶数，且各位数字之和是3的倍数。
- 既是 3 的倍数又是 5 的倍数: 个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数。
五、 质数与合数
- 质数 (素数): 只有 1 和它本身两个因数的数。
- 定义: 大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外不再有其他因数。
- 例子: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
- 特殊情况: 2 是唯一的偶数质数。
- 合数: 除了 1 和它本身以外还有其他因数的数。
- 定义: 大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外还有其他因数。
- 例子: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
- 特殊数: 1 既不是质数，也不是合数。
- 判断一个数是否为质数: 用该数依次除以2到其平方根的整数，如果都不能整除，则该数为质数。
- 100以内的质数表: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
六、 分解质因数
- 定义: 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
- 方法:
- 短除法: 用质数依次去除这个合数，直到商为质数为止。 将所有的除数和最后的商相乘，就是这个合数的质因数分解式。
- 树状图法: 将合数分解成两个因数相乘，再将这两个因数继续分解，直到所有的因数都是质数为止。
- 表示形式: 例如：12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
七、 最大公因数 (最大公约数)
- 定义: 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
- 寻找方法:
- 列举法: 分别列出每个数的因数，找出公有的因数，再找出最大的公因数。
- 分解质因数法: 将每个数分解质因数，找出所有数公有的质因数，然后将这些公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。
- 短除法: 用公有的质因数依次去除这几个数，直到所得的商没有公有的质因数为止。 所有除数的乘积就是这几个数的最大公因数。
- 互质数: 公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 两个质数一定是互质数。
- 特殊情况: 如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数。
八、 最小公倍数
- 定义: 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
- 寻找方法:
- 列举法: 分别列出每个数的倍数，找出公有的倍数，再找出最小的公倍数。
- 分解质因数法: 将每个数分解质因数，找出所有数公有的质因数，以及每个数特有的质因数，将这些质因数相乘，所得的积就是最小公倍数。
- 短除法: 用公有的质因数依次去除这几个数，直到所得的商没有公有的质因数为止。 所有除数和最后的商的乘积就是这几个数的最小公倍数。
- 特殊情况: 如果两个数是倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
九、 应用
- 约分: 利用最大公因数，将分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，将分数化简为最简分数。
- 通分: 利用最小公倍数，将分母不同的分数转化为分母相同的分数，便于进行加减运算。
- 解决实际问题: 例如，求需要多少块正方形瓷砖才能铺满一个长方形地面，或求周期性问题。
十、 易错点
- 混淆因数和倍数的概念。
- 忘记 1 既不是质数也不是合数。
- 分解质因数时，漏掉质因数。
- 计算最大公因数和最小公倍数时，方法选择不当。
- 求多个数的最大公因数和最小公倍数时，容易出错。