数学单元思维导图

一、数的认识

1.1 自然数、整数

• 1.1.1 定义：
  • 自然数：表示物体个数的数 (0, 1, 2, 3...)
  • 整数：包括正整数、负整数和零
• 1.1.2 特性：
  • 自然数：最小的自然数是0，无限个
  • 整数：没有最大和最小的整数
• 1.1.3 表示：
  • 数轴：整数在数轴上的表示
• 1.1.4 应用：
  • 计数、测量、排序

1.2 分数、小数

• 1.2.1 定义：
  • 分数：表示一个整体的几分之几 (a/b, b≠0)
  • 小数：用十进制表示的分数
• 1.2.2 分类：
  • 分数：真分数（<1）、假分数（≥1）、带分数
  • 小数：有限小数、无限循环小数、无限不循环小数
• 1.2.3 互化：
  • 分数化小数：分子÷分母
  • 小数化分数：看有几位小数，作为分母的10，100，1000等，进行化简
• 1.2.4 性质：
  • 分数：分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），值不变
  • 小数：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，大小不变
• 1.2.5 应用：
  • 比例、百分数、统计

1.3 百分数

• 1.3.1 定义：
  • 表示一个数是另一个数的百分之几
• 1.3.2 与分数的关系：
  • 都是表示两个数之间的关系，百分数不能带单位
• 1.3.3 应用：
  • 增长率、折扣、税率、利率

1.4 负数

• 1.4.1 定义：
  • 小于0的数
• 1.4.2 表示：
  • 在数轴上，0左边的数
• 1.4.3 应用：
  • 表示相反意义的量（温度、海拔等）

二、数的运算

2.1 整数运算

• 2.1.1 加法：
  • 加法交换律：a+b=b+a
  • 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
• 2.1.2 减法：
  • 减法的性质：a-b-c=a-(b+c)
• 2.1.3 乘法：
  • 乘法交换律：a×b=b×a
  • 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
  • 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
• 2.1.4 除法：
  • 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
• 2.1.5 运算顺序：
  • 先乘除，后加减，有括号先算括号里

2.2 分数运算

• 2.2.1 加减法：
  • 同分母：分子相加减，分母不变
  • 异分母：先通分，再计算
• 2.2.2 乘法：
  • 分子乘分子，分母乘分母
• 2.2.3 除法：
  • 除以一个数等于乘以这个数的倒数
• 2.2.4 混合运算：
  • 与整数运算顺序相同

2.3 小数运算

• 2.3.1 加减法：
  • 小数点对齐，相同数位对齐
• 2.3.2 乘法：
  • 按整数乘法计算，再确定小数点位置
• 2.3.3 除法：
  • 除数是整数：按整数除法计算
  • 除数是小数：转化为除数是整数的除法
• 2.3.4 混合运算：
  • 与整数运算顺序相同

2.4 混合运算的简算

• 2.4.1 运算定律的应用：
  • 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
• 2.4.2 拆分法：
  • 将一个数拆成两个数的和或差
• 2.4.3 凑整法：
  • 将一些数凑成整十、整百、整千数

三、代数初步知识

3.1 用字母表示数

• 3.1.1 意义：
  • 表示一般的数，可以表示任何数
• 3.1.2 书写规范：
  • 数字在前，字母在后，乘号省略
• 3.1.3 应用：
  • 表示公式、定律、数量关系

3.2 简易方程

• 3.2.1 定义：
  • 含有未知数的等式
• 3.2.2 解方程：
  • 使方程左右两边相等的未知数的值
• 3.2.3 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等
  • 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等
• 3.2.4 应用：
  • 解决实际问题

3.3 比和比例

• 3.3.1 比的意义：
  • 表示两个数相除
• 3.3.2 比的基本性质：
  • 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
• 3.3.3 比例的意义：
  • 表示两个比相等
• 3.3.4 比例的基本性质：
  • 比例的两个内项的积等于两个外项的积
• 3.3.5 正比例、反比例：
  • 正比例：两种量成正比例，一个量扩大，另一个量也扩大，比值一定
  • 反比例：两种量成反比例，一个量扩大，另一个量缩小，乘积一定
• 3.3.6 应用：
  • 解决比例问题

四、量的计量

4.1 长度、面积、体积、容积

• 4.1.1 单位：
  • 长度：米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)
  • 面积：平方米(m²)、平方分米(dm²)、平方厘米(cm²)
  • 体积：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)
  • 容积：升(L)、毫升(mL)
• 4.1.2 换算：
  • 单位之间的换算关系
• 4.1.3 应用：
  • 测量物体的大小

4.2 时间

• 4.2.1 单位：
  • 年、月、日、时、分、秒
• 4.2.2 换算：
  • 单位之间的换算关系
• 4.2.3 应用：
  • 计算经过的时间

4.3 质量

• 4.3.1 单位：
  • 千克(kg)、克(g)、吨(t)
• 4.3.2 换算：
  • 单位之间的换算关系
• 4.3.3 应用：
  • 测量物体的轻重

五、几何初步知识

5.1 平面图形

• 5.1.1 基本图形：
  • 三角形、正方形、长方形、圆形、平行四边形、梯形
• 5.1.2 周长、面积：
  • 各种图形的周长和面积公式
• 5.1.3 特性：
  • 各种图形的特性（例如：三角形的稳定性，平行四边形的不稳定性）
• 5.1.4 轴对称图形：
  • 定义及常见轴对称图形

5.2 立体图形

• 5.2.1 基本图形：
  • 长方体、正方体、圆柱、圆锥
• 5.2.2 表面积、体积：
  • 各种图形的表面积和体积公式
• 5.2.3 特性：
  • 各种图形的特性

六、统计与可能性

6.1 统计

• 6.1.1 统计图：
  • 条形统计图、折线统计图、扇形统计图
• 6.1.2 平均数、中位数、众数：
  • 定义及计算方法

6.2 可能性

• 6.2.1 可能性的大小：
  • 用分数表示可能性的大小
• 6.2.2 简单事件发生的可能性：
  • 确定性事件、不确定性事件

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