数学九上思维导图

I. 二次函数

A. 定义与图像

• 1. 定义:
  • 形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数
  • a, b, c 是常数
  • a 决定开口方向和大小，b 和 c 决定位置
• 2. 图象:
  • 抛物线
  • 对称轴: x = -b/2a
  • 顶点坐标: (-b/2a, (4ac-b²)/4a)
  • 开口方向:
    • a > 0, 开口向上, 有最低点
    • a < 0, 开口向下, 有最高点
• 3. 特殊形式:
  • y = ax² (顶点在原点)
  • y = a(x-h)² (顶点在 (h, 0))
  • y = a(x-h)² + k (顶点在 (h, k))
  • y = a(x-x₁)(x-x₂) (交点式，x₁和x₂是与x轴的交点)

B. 性质

• 1. 对称性:
  • 关于对称轴对称
  • 顶点是最高点或最低点
• 2. 增减性:
  • a > 0: 对称轴左侧递减，右侧递增
  • a < 0: 对称轴左侧递增，右侧递减
• 3. 顶点:
  • 最高点或最低点
  • 决定函数的最大值或最小值
• 4. 与x轴的交点:
  • 判别式 Δ = b² - 4ac
    • Δ > 0: 有两个不相等的实数根，两个交点
    • Δ = 0: 有两个相等的实数根，一个交点（与x轴相切）
    • Δ < 0: 没有实数根，没有交点

C. 图像的平移、翻折与伸缩

• 1. 平移:
  • 左加右减，上加下减
  • y = a(x-h)² + k 是 y = ax² 平移得到的
• 2. 翻折:
  • 关于 x 轴翻折: y -> -y
  • 关于 y 轴翻折: x -> -x
• 3. 伸缩:
  • 横向伸缩: x -> mx (m>0)
  • 纵向伸缩: y -> ny (n>0)

D. 应用

• 1. 最大值/最小值问题:
  • 利用顶点坐标求最大值/最小值
  • 实际问题中的最优化问题
• 2. 建立函数模型解决实际问题:
  • 利润问题
  • 面积问题
  • 运动轨迹问题

II. 相似三角形

A. 定义与判定

• 1. 定义:
  • 对应角相等，对应边成比例的三角形
• 2. 判定方法:
  • (1) 两角对应相等
  • (2) 两边对应成比例且夹角相等
  • (3) 三边对应成比例
  • (4) 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似 (A字型和8字型)
• 3. 特殊相似三角形:
  • 等腰直角三角形
  • 黄金三角形

B. 性质

• 1. 对应角相等，对应边成比例
• 2. 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比
• 3. 周长比等于相似比
• 4. 面积比等于相似比的平方

C. 相似三角形的应用

• 1. 测量:
  • 利用相似三角形测量高度
  • 利用相似三角形测量距离
• 2. 证明线段相等或成比例
• 3. 解决实际问题
  • 盲区问题
  • 比例尺问题

D. 位似图形

*   **1. 定义:**
    *   对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上。
*   **2. 位似中心:**
    *   对应顶点连线的交点。
*   **3. 位似比:**
    *   对应边的比。
*   **4. 性质:**
    *   位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
    *   位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
*   **5. 画法:**
    *   确定位似中心
    *   连接并延长关键点与位似中心，根据位似比确定对应点。
    *   顺次连接对应点。

III. 锐角三角函数

A. 定义

• 1. 正弦 (sin):
  • sinA = 对边/斜边
• 2. 余弦 (cos):
  • cosA = 邻边/斜边
• 3. 正切 (tan):
  • tanA = 对边/邻边
• 4. 锐角 A:
  • 0° < A < 90°
• 5. 常用角的三角函数值:
  • 30°, 45°, 60° (熟练掌握)

B. 特殊角的三角函数值

角度	sin	cos	tan
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

C. 解直角三角形

• 1. 定义:
  • 由已知元素求出所有未知元素的过程
• 2. 关系:
  • 两锐角互余: A + B = 90°
  • 勾股定理: a² + b² = c²
  • 三角函数
• 3. 应用:
  • 仰角、俯角
  • 方向角、坡度
  • 实际问题中的距离、高度计算

D. 应用

• 1. 测量:
  • 建筑物高度
  • 河宽
• 2. 航海:
  • 方位角
  • 航行距离
• 3. 工程:
  • 坡度
  • 仰角

IV. 概率初步

A. 随机事件与概率

• 1. 随机事件:
  • 可能发生，也可能不发生的事件
• 2. 概率:
  • 表示事件发生的可能性大小的数
  • P(A) = 事件A发生的概率
• 3. 概率的范围:
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • 必然事件的概率为1
  • 不可能事件的概率为0

B. 概率的计算方法

• 1. 等可能事件:
  • P(A) = (事件A包含的结果数) / (总的结果数)
  • 例如：抛硬币，掷骰子
• 2. 频率估计概率:
  • 通过大量重复试验，用事件发生的频率估计事件发生的概率

C. 简单事件的概率计算

• 1. 列表法:
  • 适用于两步完成的事件
• 2. 树状图法:
  • 适用于多步完成的事件
• 3. 注意事项:
  • 每次试验的结果必须是等可能的
  • 要考虑所有可能的结果

D. 应用

• 1. 游戏公平性判断:
  • 计算各方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平
• 2. 决策问题:
  • 根据概率大小做出合理决策
• 3. 实际生活中的概率问题:
  • 天气预报
  • 彩票

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