数学初一思维导图

数学初一思维导图

一、有理数

• 1.1 正数与负数

  • 概念：
    • 正数：大于0的数（可省略"+"）
    • 负数：小于0的数（必须带"-"）
    • 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界
  • 应用：
    • 表示相反意义的量：上升/下降，盈利/亏损，增加/减少，等等
    • 注意：先确定正方向，再用正负数表示。

• 1.2 有理数

  • 概念：整数和分数的统称
  • 分类：
    • 按定义分：
      • 有理数
        • 整数
          • 正整数
          • 0
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
    • 按正负分：
      • 有理数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 0
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
  • 数轴：
    • 概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线
    • 要素：原点、正方向、单位长度 (缺一不可)
    • 作用：
      • 直观表示数
      • 比较大小
      • 理解相反数
  • 相反数：
    • 概念：只有符号不同的两个数，互为相反数
    • 性质：a的相反数是-a，0的相反数是0
    • 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称
  • 绝对值：
    • 概念：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|
    • 性质：
      • |a| ≥ 0 (非负性)
      • |a| = a (a ≥ 0)
      • |a| = -a (a < 0)
      • |a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离

• 1.3 有理数的运算

  • 加法：
    • 法则：
      • 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
      • 异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
      • 一个数同0相加，仍得这个数。
    • 运算律：
      • 交换律：a + b = b + a
      • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 减法：
    • 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    • 即：a - b = a + (-b)
  • 乘法：
    • 法则：
      • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
      • 任何数与0相乘，都得0。
    • 运算律：
      • 交换律：a × b = b × a
      • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
      • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • 除法：
    • 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
    • 即：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
  • 乘方：
    • 概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
    • 记作：aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。
    • 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
  • 混合运算：
    • 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；有括号的，先算括号里面的 (先小括号，再中括号，最后大括号)。

二、代数式

• 2.1 用字母表示数

  • 意义：用字母表示数可以简明地表达数学关系。
  • 注意：
    • 字母的取值范围 (通常默认为任何数，但要注意实际意义，例如表示长度不能为负数)。
    • 书写规范：
      • 数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略不写。
      • 字母与字母相乘，乘号省略不写。
      • 数字与数字相乘，乘号不能省略。
      • 带分数写成假分数形式。
      • 除法运算一般写成分数形式。
      • 相同的字母的乘积写作幂的形式。
  • 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。

• 2.2 代数式求值

  • 步骤：
    • 先化简代数式。
    • 再代入数值进行计算。
  • 整体代入：当已知条件不足时，可以将一部分代数式看作一个整体，直接代入求值。

• 2.3 整式

  • 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
    • 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
    • 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
  • 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
    • 项：多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
    • 常数项：不含字母的项叫做常数项。
    • 次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
  • 整式：单项式和多项式统称为整式。

• 2.4 合并同类项

  • 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项也看作同类项。
  • 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
  • 步骤：
    • 找出同类项。
    • 运用加法交换律、结合律和分配律合并同类项。

三、一元一次方程

• 3.1 方程的意义

  • 等式：用等号“=”连接起来的式子，叫做等式。
  • 方程：含有未知数的等式，叫做方程。
  • 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
  • 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

• 3.2 等式的性质

  • 性质1：等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，结果仍相等。
  • 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

• 3.3 解一元一次方程

  • 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
  • 步骤：
    • 去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
    • 去括号：运用分配律和去括号法则 (括号前是正号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项都不改变符号; 括号前是负号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号)
    • 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边 (移项要变号)。
    • 合并同类项：把方程化成ax=b的形式。
    • 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a (a≠0)，得到x=b/a。

• 3.4 应用一元一次方程

  • 一般步骤：
    • 审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数。
    • 设未知数：设一个未知数为x (通常设所求量为x)。
    • 列方程：根据题意找出等量关系，列出方程。
    • 解方程：求出方程的解。
    • 检验：检验方程的解是否符合题意。
    • 答：写出答案 (注意带单位)。
  • 常见类型：
    • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
    • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
    • 利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 × 100%
    • 数字问题：多位数的表示方法
    • 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息，利息 = 本金 × 利率 × 时间