八年级数学人教版思维导图全部

# 《八年级数学人教版思维导图全部》

## 一、第一章 三角形

### 1.1 与三角形有关的线段

*   **1.1.1 三角形的边**
    *   三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
    *   三角形的表示：符号表示（△ABC）、顶点、边（a,b,c）。
    *   三角形的三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
    *   应用：判断能否构成三角形、求边长范围等。

*   **1.1.2 三角形的高、中线与角平分线**
    *   三角形的高：顶点到对边所在直线的垂线段（高线）。 注意：钝角三角形高线的特殊性
    *   三角形的中线：顶点与对边中点的连线段。
    *   三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点和交点间的线段。
    *   性质：高垂直于对边；中线平分对边；角平分线平分内角。
    *   三角形的高、中线、角平分线的交点（重心，垂心等）。
    *   几何语言表达。

### 1.2 如何判定三角形全等

*   **1.2.1 全等三角形**
    *   全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形。
    *   全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。
    *   全等三角形的表示：符号表示（≌），注意对应顶点。
*   **1.2.2 三角形全等的判定（SSS，SAS，ASA，AAS）**
    *   SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
    *   SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
    *   ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
    *   AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
    *   证明全等三角形的步骤：
        1.  准备条件（已知条件、公共边、公共角、对顶角等）。
        2.  证明全等。
        3.  得到结论（对应边相等，对应角相等）。
*   **1.2.3 斜边，直角边（HL）**
    *   HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
    *   注意：HL仅适用于直角三角形。

### 1.3 特殊三角形

*   **1.3.1 等腰三角形**
    *   等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形。
    *   等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
    *   等腰三角形的判定：两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
*   **1.3.2 等边三角形**
    *   等边三角形的定义：三条边都相等的三角形。
    *   等边三角形的性质：三个角都相等，都等于60°；三线合一。
    *   等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
*   **1.3.3 直角三角形**
    *   直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形。
    *   直角三角形的性质：两个锐角互余；30°角所对的直角边等于斜边的一半。
    *   勾股定理：a²+b²=c² (a,b为直角边，c为斜边)

### 1.4 尺规作图

*   **1.4.1 尺规作线段等于已知线段**
*   **1.4.2 尺规作一个角等于已知角**
*   **1.4.3 尺规作角的平分线**
*   **1.4.4 尺规作线段的垂直平分线**
*   **1.4.5 会用尺规作三角形**

## 二、第二章 全等三角形的应用

### 2.1 角平分线的性质

*   角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
*   角平分线的判定：到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
*   应用：解决与角平分线有关的线段相等的问题。

### 2.2 线段的垂直平分线的性质

*   线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
*   线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
*   应用：解决与线段垂直平分线有关的线段相等的问题。

### 2.3 图形的轴对称

*   轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。
*   对称轴：这条直线叫做对称轴。
*   轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等；对应线段相等；对应角相等。
*   线段的垂直平分线就是线段的对称轴。

### 2.4 等腰三角形与等边三角形的判定和性质

*复习第一章的对应内容*

## 三、第三章 整式的乘除与因式分解

### 3.1 整式的乘法

*   **3.1.1 同底数幂的乘法**
    *   am · an = am+n (m,n都是正整数)
*   **3.1.2 幂的乘方与积的乘方**
    *   (am)n = amn (m,n都是正整数)
    *   (ab)n = anbn (n是正整数)
*   **3.1.3 整式的乘法**
    *   单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母照抄。
    *   单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
    *   多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
*   **3.1.4 乘法公式**
    *   平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
    *   完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b² ； (a-b)² = a² - 2ab + b²

### 3.2 整式的除法

*   **3.2.1 同底数幂的除法**
    *   am ÷ an = am-n (a≠0, m,n都是正整数，并且m>n)
    *   a0 = 1 (a≠0)
*   **3.2.2 单项式除以单项式**
    *   系数相除，相同字母的幂相除，其余字母照抄作为商的因式。
*   **3.2.3 多项式除以单项式**
    *   先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

### 3.3 因式分解

*   **3.3.1 因式分解的概念**
    *   因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
    *   因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算。
*   **3.3.2 提公因式法**
    *   确定公因式：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都有的字母，并且取指数最低的。
    *   提取公因式：把公因式提到括号外面，并把剩下的部分写在括号里。
*   **3.3.3 公式法**
    *   平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
    *   完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)² ； a² - 2ab + b² = (a-b)²

## 四、第四章 分式

### 4.1 分式的概念

*   分式的定义：形如 A/B 的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，B≠0。 A为分子，B为分母
*   分式有意义的条件：分母不等于0。
*   分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0。

### 4.2 分式的基本性质

*   分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。
*   应用：分式的约分和通分。
*   最简分式：分子与分母没有公因式的分式。

### 4.3 分式的运算

*   **4.3.1 分式的乘除法**
    *   分式乘法：分子乘分子，分母乘分母。
    *   分式除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
*   **4.3.2 分式的加减法**
    *   同分母分式加减法：分母不变，分子相加减。
    *   异分母分式加减法：先通分，化为同分母分式，再进行加减。
*   **4.3.3 整数指数幂**
    *   a-n = 1/an (a≠0, n是正整数)
*   **4.3.4 分式方程**
    *   分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。
    *   解分式方程的步骤：
        1.  去分母（方程两边同乘最简公分母）。
        2.  解整式方程。
        3.  验根（把整式方程的根代入最简公分母，看是否为零，若为零则是增根）。
    *   应用：解决实际问题（如工程问题、行程问题等）。

## 五、第五章 数据的收集与整理

### 5.1 数据的收集

*   **5.1.1 数据的来源**
    *   直接来源：调查、实验、测量等。
    *   间接来源：报刊、杂志、网络等。
*   **5.1.2 调查方式**
    *   普查：对全体对象进行调查。
    *   抽样调查：抽取一部分对象进行调查。
    *   选择合适的调查方式。

### 5.2 数据的整理

*   **5.2.1 数据的表示**
    *   条形统计图。
    *   折线统计图。
    *   扇形统计图。
    *   各种统计图的特点和适用范围。
*   **5.2.2 数据的分析**
    *   平均数：所有数据的和除以数据的个数。
    *   中位数：将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。
    *   众数：数据中出现次数最多的数。
    *   极差：最大值与最小值的差。
    *   方差：各个数据与其平均数的差的平方和的平均数。
    *   标准差：方差的算术平方根。
    *   各种统计量的意义和作用。
*   **5.2.3 用样本估计总体**
    *   用样本的平均数估计总体的平均数。
    *   用样本的方差估计总体的方差。

### 5.3 数据的描述

* 理解各种统计图和统计量的作用，能够根据数据选择合适的统计图进行表示，并能通过统计量进行合理分析和推断。

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一、第一章三角形

1.1 与三角形有关的线段

1.1.1 三角形的边
- 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
- 三角形的表示：符号表示（△ABC）、顶点、边（a,b,c）。
- 三角形的三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
- 应用：判断能否构成三角形、求边长范围等。
1.1.2 三角形的高、中线与角平分线
- 三角形的高：顶点到对边所在直线的垂线段（高线）。注意：钝角三角形高线的特殊性
- 三角形的中线：顶点与对边中点的连线段。
- 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点和交点间的线段。
- 性质：高垂直于对边；中线平分对边；角平分线平分内角。
- 三角形的高、中线、角平分线的交点（重心，垂心等）。
- 几何语言表达。

1.2 如何判定三角形全等

1.2.1 全等三角形
- 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形。
- 全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。
- 全等三角形的表示：符号表示（≌），注意对应顶点。
1.2.2 三角形全等的判定（SSS，SAS，ASA，AAS）
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 证明全等三角形的步骤：
  1. 准备条件（已知条件、公共边、公共角、对顶角等）。
  2. 证明全等。
  3. 得到结论（对应边相等，对应角相等）。
1.2.3 斜边，直角边（HL）
- HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 注意：HL仅适用于直角三角形。

1.3 特殊三角形

1.3.1 等腰三角形
- 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形。
- 等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
- 等腰三角形的判定：两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
1.3.2 等边三角形
- 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形。
- 等边三角形的性质：三个角都相等，都等于60°；三线合一。
- 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1.3.3 直角三角形
- 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形。
- 直角三角形的性质：两个锐角互余；30°角所对的直角边等于斜边的一半。
- 勾股定理：a²+b²=c² (a,b为直角边，c为斜边)

1.4 尺规作图

1.4.1 尺规作线段等于已知线段
1.4.2 尺规作一个角等于已知角
1.4.3 尺规作角的平分线
1.4.4 尺规作线段的垂直平分线
1.4.5 会用尺规作三角形

二、第二章全等三角形的应用

2.1 角平分线的性质

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定：到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
应用：解决与角平分线有关的线段相等的问题。

2.2 线段的垂直平分线的性质

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
应用：解决与线段垂直平分线有关的线段相等的问题。

2.3 图形的轴对称

轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。
对称轴：这条直线叫做对称轴。
轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等；对应线段相等；对应角相等。
线段的垂直平分线就是线段的对称轴。

2.4 等腰三角形与等边三角形的判定和性质

复习第一章的对应内容

三、第三章整式的乘除与因式分解

3.1 整式的乘法

3.1.1 同底数幂的乘法
- am · an = am+n (m,n都是正整数)
3.1.2 幂的乘方与积的乘方
- (am)n = amn (m,n都是正整数)
- (ab)n = anbn (n是正整数)
3.1.3 整式的乘法
- 单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母照抄。
- 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3.1.4 乘法公式
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b² ； (a-b)² = a² - 2ab + b²

3.2 整式的除法

3.2.1 同底数幂的除法
- am ÷ an = am-n (a≠0, m,n都是正整数，并且m>n)
- a0 = 1 (a≠0)
3.2.2 单项式除以单项式
- 系数相除，相同字母的幂相除，其余字母照抄作为商的因式。
3.2.3 多项式除以单项式
- 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

3.3 因式分解

3.3.1 因式分解的概念
- 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
- 因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算。
3.3.2 提公因式法
- 确定公因式：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都有的字母，并且取指数最低的。
- 提取公因式：把公因式提到括号外面，并把剩下的部分写在括号里。
3.3.3 公式法
- 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
- 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)² ； a² - 2ab + b² = (a-b)²

四、第四章分式

4.1 分式的概念

分式的定义：形如 A/B 的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，B≠0。 A为分子，B为分母
分式有意义的条件：分母不等于0。
分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0。

4.2 分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。
应用：分式的约分和通分。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式。

4.3 分式的运算

4.3.1 分式的乘除法
- 分式乘法：分子乘分子，分母乘分母。
- 分式除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
4.3.2 分式的加减法
- 同分母分式加减法：分母不变，分子相加减。
- 异分母分式加减法：先通分，化为同分母分式，再进行加减。
4.3.3 整数指数幂
- a-n = 1/an (a≠0, n是正整数)
4.3.4 分式方程
- 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。
- 解分式方程的步骤：
  1. 去分母（方程两边同乘最简公分母）。
  2. 解整式方程。
  3. 验根（把整式方程的根代入最简公分母，看是否为零，若为零则是增根）。
- 应用：解决实际问题（如工程问题、行程问题等）。

五、第五章数据的收集与整理

5.1 数据的收集

5.1.1 数据的来源
- 直接来源：调查、实验、测量等。
- 间接来源：报刊、杂志、网络等。
5.1.2 调查方式
- 普查：对全体对象进行调查。
- 抽样调查：抽取一部分对象进行调查。
- 选择合适的调查方式。

5.2 数据的整理

5.2.1 数据的表示
- 条形统计图。
- 折线统计图。
- 扇形统计图。
- 各种统计图的特点和适用范围。
5.2.2 数据的分析
- 平均数：所有数据的和除以数据的个数。
- 中位数：将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。
- 众数：数据中出现次数最多的数。
- 极差：最大值与最小值的差。
- 方差：各个数据与其平均数的差的平方和的平均数。
- 标准差：方差的算术平方根。
- 各种统计量的意义和作用。
5.2.3 用样本估计总体
- 用样本的平均数估计总体的平均数。
- 用样本的方差估计总体的方差。

5.3 数据的描述

理解各种统计图和统计量的作用，能够根据数据选择合适的统计图进行表示，并能通过统计量进行合理分析和推断。

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