《七年级数学思维导图》

一、有理数

1.1 有理数的概念

• 定义： 整数和分数的统称。
  • 整数： 正整数、零、负整数
  • 分数： 正分数、负分数
• 分类：
  • 按定义分： 有理数 -> {整数, 分数} -> {正整数, 零, 负整数, 正分数, 负分数}
  • 按性质分： 有理数 -> {正数, 零, 负数} -> {正整数, 正分数, 零, 负整数, 负分数}
• 数轴：
  • 定义： 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
  • 作用： 直观表示数；比较有理数的大小。
• 相反数：
  • 定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 性质： a的相反数是-a；0的相反数是0；在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。
• 绝对值：
  • 定义： 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
  • 几何意义： 点到原点的距离。
  • 代数意义： |a| = { a (a ≥ 0), -a (a < 0) }
  • 性质： 非负性（|a| ≥ 0）；绝对值最小的数是0。
• 倒数：
  • 定义： 乘积是1的两个数互为倒数。
  • 性质： a的倒数是1/a (a ≠ 0)；1的倒数是1；-1的倒数是-1；0没有倒数。

1.2 有理数的运算

• 加法：
  • 法则：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 一个数同0相加，仍得这个数。
  • 运算律：
    • 交换律：a + b = b + a
    • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 减法：
  • 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a - b = a + (-b)
• 乘法：
  • 法则：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数同0相乘，都得0。
  • 运算律：
    • 交换律：a × b = b × a
    • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
• 除法：
  • 法则： 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
• 乘方：
  • 定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
  • 表示： aⁿ (a是底数，n是指数)
  • 符号法则： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
• 有理数的混合运算：
  • 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。

二、整式的加减

2.1 代数式

• 定义： 用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
• 单独一个数或一个字母也是代数式。
• 代数式的值： 用具体数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果。

2.2 单项式

• 定义： 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
• 系数： 单项式中的数字因数。
• 次数： 单项式中所有字母的指数的和。

2.3 多项式

• 定义： 几个单项式的和叫做多项式。
• 项： 多项式中的每个单项式。
• 常数项： 不含字母的项。
• 次数： 多项式中次数最高的项的次数。

2.4 整式

• 定义： 单项式和多项式统称为整式。

2.5 同类项

• 定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
• 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项。
  • 法则： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.6 去括号与添括号

• 去括号法则：
  • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号。
  • 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
• 添括号法则：
  • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号。
  • 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.7 整式的加减

• 步骤：
  1. 去括号
  2. 合并同类项

三、一元一次方程

3.1 方程

• 定义： 含有未知数的等式叫做方程。
• 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
• 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程： 求方程的解的过程。

3.2 等式的性质

• 性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
• 性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.3 解一元一次方程

• 移项： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
• 步骤：
  1. 去分母 (乘以各分母的最小公倍数)
  2. 去括号
  3. 移项 (把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边)
  4. 合并同类项
  5. 系数化为1 (方程两边都除以未知数的系数)

3.4 一元一次方程的应用

• 列方程解应用题的步骤：
  1. 审题 (弄清题意和题目中的已知数、未知数)
  2. 设元 (设未知数，通常设所求的量为x)
  3. 列方程 (根据题中的相等关系列出方程)
  4. 解方程 (求出方程的解)
  5. 检验 (检验所求的解是否符合题意)
  6. 答 (写出答案)
• 常见题型：
  • 行程问题： 距离 = 速度 × 时间
  • 工程问题： 工作量 = 工作效率 × 工作时间
  • 销售问题： 利润 = 售价 - 成本; 利润率 = (利润 / 成本) × 100%
  • 储蓄问题： 利息 = 本金 × 利率 × 时间
  • 年龄问题：抓住年龄增长，大小之间的年龄差不变
  • 数字问题：表示一个多位数，如一个两位数表示为10a + b

四、几何图形初步

4.1 立体图形与平面图形

• 立体图形： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
• 平面图形： 三角形、正方形、圆等。

4.2 直线、射线、线段

• 直线： 向两方无限延伸，没有端点。
• 射线： 向一方无限延伸，只有一个端点。
• 线段： 有两个端点，可以度量。
• 线段的比较：
  • 用刻度尺量出长度进行比较。
  • 用圆规截取进行比较。
• 线段的中点： 把一条线段分成两条相等的线段的点。

4.3 角

• 定义： 从一点出发的两条射线组成的图形。
• 角的度量单位： 度、分、秒 (1° = 60′，1′ = 60″)
• 角的分类： 锐角、直角、钝角、平角、周角
• 角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
• 余角和补角：
  • 余角： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角。
  • 补角： 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
  • 性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

4.4 几何体的展开图

• 了解常见几何体的展开图，如正方体、圆柱、圆锥等。

这只是一个框架性的思维导图，具体内容可以根据需要进行更细致的补充和完善。例如，在解一元一次方程的应用题部分，可以列举更具体的例题进行分析。 在几何部分，可以增加几何体的截面等内容。

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