《数列知识点思维导图》
一、 数列的概念与表示
1.1 数列的定义
- 1.1.1 定义：按照一定顺序排列的一列数
- 1.1.2 项：数列中的每一个数称为该数列的项
- 1.1.3 一般形式：a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ... (aₙ为第n项)
1.2 数列的表示方法
- 1.2.1 列举法：直接列出数列中的各项，如：1, 3, 5, 7, 9
- 1.2.2 公式法
- 1.2.2.1 通项公式法：用关于n的公式表示数列的第n项，aₙ = f(n)
- 1.2.2.1.1 定义：明确给出数列的第n项与序号n之间的函数关系式
- 1.2.2.1.2 应用：可直接求出数列的任意一项
- 1.2.2.2 递推公式法：用数列的相邻项之间的关系表示数列，如：a₁=1, aₙ₊₁=aₙ+2
- 1.2.2.2.1 定义：给出数列的初始项以及相邻项之间的关系式
- 1.2.2.2.2 应用：通过已知项可以递推求出后续的项
- 1.2.3 图像法：用函数图像表示数列，横坐标为项数n，纵坐标为对应项的值aₙ
1.3 数列的分类
- 1.3.1 按项数分
- 1.3.1.1 有穷数列：项数为有限个的数列
- 1.3.1.2 无穷数列：项数为无限个的数列
- 1.3.2.1 递增数列：aₙ₊₁ > aₙ
- 1.3.2.2 递减数列：aₙ₊₁ < aₙ
- 1.3.2.3 常数列：aₙ₊₁ = aₙ
- 1.3.2.4 摆动数列：数列中的项忽大忽小，没有规律
二、 等差数列
2.1 定义与性质
- 2.1.1 定义：后一项与前一项的差为常数(公差)的数列
- 2.1.2 公式
- 2.1.2.1 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d (a₁为首项，d为公差)
- 2.1.2.2 求和公式
- 2.1.2.2.1 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- 2.1.2.2.2 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2
- 2.1.3 性质
- 2.1.3.1 若 m+n = p+q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>
- 2.1.3.2 aₙ = aₘ + (n-m)d
- 2.1.3.3 等差中项：若a, A, b成等差数列，则A = (a+b)/2
- 2.1.3.4 Sₘ, S₂ₘ-Sₘ, S₃ₘ-S₂ₘ, ... 成等差数列
2.2 等差数列的判定
- 2.2.1 定义法：aₙ₊₁ - aₙ = d (常数)
- 2.2.2 通项公式法：aₙ = An + B (A, B为常数)
- 2.2.3 等差中项法：2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂
2.3 等差数列的应用
- 2.3.1 求和问题
- 2.3.2 最值问题
- 2.3.2.1 利用通项公式的单调性判断
- 2.3.2.2 利用二次函数的性质求最值
三、 等比数列
3.1 定义与性质
- 3.1.1 定义：后一项与前一项的比为常数(公比)的数列
- 3.1.2 公式
- 3.1.2.1 通项公式：aₙ = a₁ * q^(n-1) (a₁为首项，q为公比)
- 3.1.2.2 求和公式
- 3.1.2.2.1 当q≠1时，Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) = (a₁-aₙq)/(1-q)
- 3.1.2.2.2 当q=1时，Sₙ = na₁
- 3.1.3 性质
- 3.1.3.1 若 m+n = p+q，则 aₘ aₙ = aₚ a<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>
- 3.1.3.2 aₙ = aₘ * q^(n-m)
- 3.1.3.3 等比中项：若a, G, b成等比数列，则G² = ab
- 3.1.3.4 Sₘ, S₂ₘ-Sₘ, S₃ₘ-S₂ₘ, ... 成等比数列（q≠-1时）
3.2 等比数列的判定
- 3.2.1 定义法：aₙ₊₁ / aₙ = q (常数)
- 3.2.2 通项公式法：aₙ = A * qⁿ (A, q为常数)
- 3.2.3 等比中项法：aₙ₊₁² = aₙ * aₙ₊₂
3.3 等比数列的应用
- 3.3.1 求和问题
- 3.3.2 最值问题
- 3.3.2.1 利用通项公式的单调性判断
- 3.3.2.2 注意q的取值范围对单调性的影响
四、 数列求和
4.1 公式法
4.2 倒序相加法
- 4.2.1 适用范围：适用于通项公式具有对称性的数列，如 aₙ + a₁₀₁₋ₙ = 常数
- 4.2.2 步骤：将数列倒序排列，与原数列相加，利用对称性求和
4.3 错位相减法
- 4.3.1 适用范围：适用于数列的通项公式为等差数列与等比数列的乘积的形式，如 aₙ = n * 2ⁿ
- 4.3.2 步骤：将数列乘以公比q，然后与原数列相减，化简求和
4.4 裂项相消法
- 4.4.1 适用范围：适用于数列的通项公式可以分解成两项之差的形式，相加后可以抵消部分项，如 aₙ = 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
- 4.4.2 常见的裂项公式
- 4.4.2.1 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
- 4.4.2.2 1/(n(n+k)) = 1/k * (1/n - 1/(n+k))
- 4.4.2.3 1/(√(n)+√(n+1)) = √(n+1) - √(n)
- 4.4.2.4 1/(√(n+a)+√(n+b)) = (√(n+a)-√(n+b))/(a-b)
4.5 分组求和法
- 4.5.1 适用范围：适用于数列的通项公式可以分解成几个等差数列或等比数列的和或差的形式。
- 4.5.2 步骤：将数列分成几个部分，分别求和，然后将结果相加。
五、 数列的综合应用
5.1 数列与函数
- 5.1.1 数列可以看作是定义域为正整数集(或其子集)的函数
- 5.1.2 利用函数的思想解决数列问题，如单调性、最值等
5.2 数列与不等式
- 5.2.1 利用数列的单调性证明不等式
- 5.2.2 利用数列的求和公式证明不等式
- 5.2.3 利用数学归纳法证明与数列相关的不等式
5.3 数列的应用题
- 5.3.1 增长率问题
- 5.3.2 储蓄问题
- 5.3.3 实际生活中的应用问题
六、 数学归纳法 (选学)
* 6.1 证明与正整数n有关的命题
* 6.2 步骤
* 6.2.1 验证：当n取第一个值n₀时，命题成立
* 6.2.2 假设：假设当n=k(k≥n₀，k∈N*)时，命题成立
* 6.2.3 证明：证明当n=k+1时，命题也成立
* 6.3 应用：证明等式、不等式、整除性等问题
