《除法思维导图四年级上册》
一、除法概念及意义
1.1 除法的定义
- 等分： 将一个整体平均分成若干份，求每份是多少。
- 例如：12个苹果，平均分给3个小朋友，每个小朋友分几个？
- 包含： 求一个数里包含多少个另一个数。
- 例如：12个苹果，每4个装一盘，可以装几盘？
- 本质： 乘法的逆运算。
1.2 除法的组成
- 被除数： 表示要被平均分的东西的总数。
- 除数： 表示要分成几份或每份的数量。
- 商： 表示平均分后每份的数量或可以分成几份。
- 余数： 表示分完后剩余的数量（余数必须小于除数）。
- 公式： 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数
1.3 除法的应用场景
- 分配问题： 例如：分糖果、分座位等。
- 计算单价： 总价 ÷ 数量 = 单价
- 测量问题： 例如：用绳子测量长度等。
- 解决实际问题： 例如：计算平均速度、平均成绩等。
二、除法竖式计算
2.1 竖式计算步骤 (以三位数除以一位数为例)
- 书写： 将被除数写在除号内，除数写在除号外。
- 试商： 从被除数的最高位开始，看除数够除被除数的最高位吗？如果不够，就看前两位，以此类推。
- 商要写在被除数相应数位的上面。
- 相乘： 用商乘以除数，将积写在被除数的下面，对齐数位。
- 相减： 用被除数减去积，得到差。
- 落位： 将被除数的下一位数落下来，写在差的后面，继续试商、相乘、相减。
- 重复： 重复以上步骤，直到被除数的最后一位落下来，计算出余数（如果存在）。
2.2 竖式计算注意事项
- 数位对齐： 商的数位要与被除数的数位对齐。
- 余数判断： 余数必须小于除数。
- 0的处理：
- 商中间或末尾有0的情况：如果不够商1，要用0占位。
- 被除数中间或末尾有0的情况：要考虑是否需要落位。
- 验算： 商 × 除数 + 余数 = 被除数
2.3 特殊情况的竖式计算
- 除数是整十、整百数的除法： 先将被除数和除数末尾的相同个数的0划去，再进行计算。（本质是缩小相同倍数）
- 估算： 将被除数或除数看成近似数，方便口算或估算。
三、商不变的规律
3.1 规律内容
- 描述： 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
- 公式： (被除数 × n) ÷ (除数 × n) = 商 （n≠0） (被除数 ÷ n) ÷ (除数 ÷ n) = 商 （n≠0）
3.2 应用
- 简便计算： 通过扩大或缩小被除数和除数，使计算更简便。
- 例如：450 ÷ 25 = (450 × 4) ÷ (25 × 4) = 1800 ÷ 100 = 18
- 解决实际问题： 在实际问题中，可以利用商不变的规律进行转化，使问题更易解决.
- 例如：已知每千克苹果12元，现在有240元，可以买多少千克苹果？也可以说成每1000克苹果12元，现在有240000毫克，可以买多少千克苹果（虽然不现实，但说明原理）。
3.3 注意事项
- 必须是同时乘或除以相同的数，且这个数不能为0。
- 乘或除的目的是为了方便计算，选择合适的数进行转化。
四、除法估算
4.1 估算方法
- 四舍五入法： 将被除数和除数都看成与它们接近的整十、整百、整千数。
- 凑整法： 将被除数或除数凑成容易口算的数。
- 根据乘法关系估算： 根据乘法算式进行估算，例如：31 × 9 ≈ 270，所以270 ÷ 31 ≈ 9。
4.2 估算应用
- 检验计算结果： 估算可以帮助我们判断计算结果是否合理。
- 解决实际问题： 在不需要精确结果的情况下，可以使用估算快速解决问题。
- 例如：大约需要多少辆车？大约需要多少钱？
4.3 估算注意事项
- 估算的结果是一个近似值，而不是精确值。
- 估算时要根据实际情况选择合适的估算方法。
- 不同的估算方法，结果可能略有不同。
五、解决问题
5.1 解决问题步骤
- 理解题意： 读懂题目，明确已知条件和所求问题。
- 分析数量关系： 找出题目中的数量关系，确定用什么方法解决。
- 列式计算： 根据数量关系列出算式，进行计算。
- 检验解答： 检查计算是否正确，答案是否符合题意。
- 写答： 写出完整的答案。
5.2 常见应用题型
- 平均分问题： 将一个整体平均分成若干份，求每份是多少。
- 包含除问题： 求一个数里包含多少个另一个数。
- 求单价、数量、总价问题： 利用总价 ÷ 数量 = 单价，单价 × 数量 = 总价，总价 ÷ 单价 = 数量等关系解决问题。
- 求平均数问题： 将几个数加起来，再除以数的个数。
5.3 策略
- 画图： 可以帮助理解题意，分析数量关系。
- 列表： 可以整理信息，找到规律。
- 假设： 可以将复杂的问题转化为简单的问题。
- 检验： 可以检查答案是否正确。
六、易错点
- 余数大于或等于除数。
- 商中间或末尾的0的忽略。
- 数位没有对齐。
- 错误理解题意，列错算式。
- 估算时，随意改变被除数和除数的大小。
- 忘记验算。
七、总结
四年级上册的除法是小学数学学习的重要组成部分，掌握除法的概念、计算方法、商不变的规律以及估算方法，能够有效地解决实际问题。需要多加练习，培养良好的计算习惯，提高解决问题的能力。