《职高不等式思维导图》

一、基础概念与性质

• 1.1 不等式的定义:

  • 定义：用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个代数式。
  • 代数式：可以是数字、字母或它们的组合。
  • 不等号种类：
    • 严格不等号：>, <
    • 非严格不等号：≥, ≤
    • 不等于号：≠

• 1.2 不等式的性质:

  • 对称性：若 a > b，则 b < a。
  • 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
  • 加法性质：若 a > b，则 a + c > b + c (c为任意实数)。
  • 乘法性质：
    • 若 a > b，c > 0，则 ac > bc。
    • 若 a > b，c < 0，则 ac < bc。
  • 推论：
    • 若 a > b，c > d，则 a + c > b + d。
    • 若 a > b > 0，n ∈ N*，则 aⁿ > bⁿ。
    • 若 a > b > 0，n ∈ N*，则 ⁿ√a > ⁿ√b。

• 1.3 区间:

  • 定义：表示数集中一段连续的实数。
  • 种类：
    • 开区间：(a, b) = {x | a < x < b}
    • 闭区间：[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
    • 半开区间：(a, b] = {x | a < x ≤ b}，[a, b) = {x | a ≤ x < b}
    • 无穷区间：(a, +∞) = {x | x > a}，[a, +∞) = {x | x ≥ a}，(-∞, b) = {x | x < b}，(-∞, b] = {x | x ≤ b}，(-∞, +∞) = R。

二、一元一次不等式

• 2.1 定义: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
• 2.2 解法:
  • 移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
  • 合并同类项：化简不等式。
  • 系数化为1：注意：当系数为负数时，不等号方向要改变。
  • 解的表示：用区间或集合表示。
• 2.3 应用:
  • 解决实际问题：列不等式解应用题。
  • 注意单位统一，实际意义。

三、一元一次不等式组

• 3.1 定义: 含有同一个未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组。
• 3.2 解法:
  • 分别解出每一个不等式的解集。
  • 在数轴上表示出各个解集。
  • 求出各个解集的公共部分（交集）。
  • 无解：各不等式解集没有公共部分。
• 3.3 特殊情况:
  • 若不等式组的解集为 x > a，x < a，则不等式组无解。
  • 若不等式组的解集为 x > a，x > b (a > b)，则不等式组的解集为 x > a。
  • 若不等式组的解集为 x < a，x < b (a > b)，则不等式组的解集为 x < b。
• 3.4 应用:
  • 解决与范围相关的问题。

四、一元二次不等式

• 4.1 定义: 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式。
• 4.2 解法:
  • 化为标准形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
  • 求判别式 Δ = b² - 4ac。
  • 求根：
    • 当 Δ > 0 时，有两个不相等的实数根 x₁，x₂ (x₁ < x₂)。
    • 当 Δ = 0 时，有两个相等的实数根 x₁ = x₂ = -b/2a。
    • 当 Δ < 0 时，没有实数根。
  • 判断开口方向：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下。
  • 画图：根据根和开口方向画出二次函数图像。
  • 确定解集：
    • ax² + bx + c > 0：函数图像在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值范围。
    • ax² + bx + c < 0：函数图像在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围。
  • 注意：当 Δ < 0 且 a > 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 R，ax² + bx + c < 0 无解；当 Δ < 0 且 a < 0 时，ax² + bx + c < 0 的解集为 R，ax² + bx + c > 0 无解。
• 4.3 特殊情况:
  • (ax - b)² > 0 (x ≠ b/a)
  • (ax - b)² < 0 无解
  • (ax - b)² ≥ 0 R
  • (ax - b)² ≤ 0 x = b/a
• 4.4 应用:
  • 求函数定义域。
  • 解决实际问题。

五、基本不等式

• 5.1 基本不等式:
  • 形式：a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)。
  • 成立条件：a > 0, b > 0。
  • 等号成立条件：a = b。
  • 几何意义： 半径不小于半弦长。
• 5.2 推广:
  • 均值不等式：(a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...aₙ) (aᵢ > 0, i = 1, 2, ..., n)。
• 5.3 应用:
  • 求最值问题：
    • 积定和最小：当 ab 为定值时，a + b 有最小值 2√(ab)，当 a = b 时取到。
    • 和定积最大：当 a + b 为定值时，ab 有最大值 (a+b)²/4，当 a = b 时取到。
  • 注意：使用基本不等式求最值时，必须满足 “一正二定三相等” 的条件。

六、绝对值不等式

• 6.1 定义: 含有绝对值的不等式。
• 6.2 解法:
  • 零点分段法：求出绝对值内部的零点，根据零点将数轴分成若干段，在每一段上讨论不等式的解。
  • 分类讨论法：与零点分段法类似，但更加注重逻辑的严谨性。
  • 几何意义法：利用绝对值的几何意义来解不等式。
  • 平方去绝对值法：将不等式两边平方，去掉绝对值符号，化为普通不等式求解。
• 6.3 常用结论:
  • |x| < a (a > 0) => -a < x < a
  • |x| > a (a > 0) => x > a 或 x < -a
  • |x - a| < b (b > 0) => a - b < x < a + b
  • |x - a| > b (b > 0) => x > a + b 或 x < a - b
• 6.4 含两个绝对值的不等式:
  • |x - a| + |x - b| ≥ |a - b|
  • |x - a| + |x - b| 的最小值在 x ∈ [a, b] 时取到。
• 6.5 应用:
  • 求函数的定义域。
  • 解决与距离相关的问题。

七、不等式的实际应用

• 7.1 模型建立:
  • 理解题意，确定未知量。
  • 找出数量关系，列出不等式或不等式组。
• 7.2 解不等式 (组):
  • 选择合适的解法。
  • 注意检验解的实际意义。
• 7.3 答案呈现:
  • 用简洁明了的语言表达答案。
  • 注意单位。

This provides a comprehensive overview of inequalities relevant to vocational high school students. It includes definitions, properties, solution methods, and applications, organized in a hierarchical manner suitable for a mind map. The use of bullet points and sub-sections allows for easy understanding and memory retention.