二元一次三元一次方程组思维导图

# 《二元一次三元一次方程组思维导图》

## 一、二元一次方程组

### 1. 概念

*   **定义：** 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的方程组成的方程组。
*   **一般形式：**
    *   ax + by = c
    *   dx + ey = f
    *   其中 a, b, c, d, e, f 是常数，且 a, b 不同时为 0，d, e 不同时为 0。

### 2. 解

*   **解的定义：** 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值。
*   **解的形式：** 一个有序数对 (x, y)。

### 3. 解法

*   **代入消元法**
    *   **步骤：**
        1.  选取一个方程，将其中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。
        2.  将这个代数式代入另一个方程，得到一个一元一次方程。
        3.  解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
        4.  将求出的未知数的值代入用代数式表示的方程，求出另一个未知数的值。
        5.  写出方程组的解。
    *   **适用情况：** 当某个方程中，某个未知数的系数为1或-1时，代入消元法较为简便。
*   **加减消元法**
    *   **步骤：**
        1.  观察方程组中未知数的系数，选择一个未知数，使它们的系数绝对值相等（通常通过乘法实现）。
        2.  将两个方程相加或相减，消去选定的未知数，得到一个一元一次方程。
        3.  解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
        4.  将求出的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
        5.  写出方程组的解。
    *   **适用情况：** 当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或倍数关系时，加减消元法较为简便。

### 4. 特殊形式的方程组

*   **系数对称型：**
    *   形式： ax + by = c 和 bx + ay = d
    *   解法： 两式相加/减，得到 x+y 或 x-y 的值，再将其中一个值代入原方程组，求解。
*   **比例式方程组：**
    *   形式：涉及比例关系的方程组
    *   解法： 将比例式转化为等式，例如 a/b = c/d  => ad = bc, 然后与其他方程联立求解。

### 5. 应用

*   **行程问题：** 涉及速度、时间、路程的关系。
*   **工程问题：** 涉及工作量、工作效率、工作时间的关系。
*   **利润问题：** 涉及成本、售价、利润、利润率的关系。
*   **浓度问题：** 涉及溶质、溶剂、溶液、浓度的关系。
*   **数字问题：** 涉及个位、十位、百位等数字的关系。
*   **其他问题：** 涉及数量关系分析，根据题意列方程组解决实际问题。

## 二、三元一次方程组

### 1. 概念

*   **定义：** 含有三个未知数，且未知数的次数都是1的方程组成的方程组。
*   **一般形式：**
    *   ax + by + cz = d
    *   ex + fy + gz = h
    *   ix + jy + kz = l
    *   其中 a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l 是常数，且每一行方程中的a,b,c；e,f,g；i,j,k不能同时为0。

### 2. 解

*   **解的定义：** 使三元一次方程组中每个方程都成立的三个未知数的值。
*   **解的形式：** 一个有序三元组 (x, y, z)。

### 3. 解法

*   **消元法：** 基本思想是将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。
    *   **方法一：代入消元**
        1.  从一个方程中选取一个系数较为简单的未知数，用另外两个未知数表示。
        2.  将此代数式代入另外两个方程，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程组。
        3.  解这个二元一次方程组，求出另外两个未知数的值。
        4.  将求出的两个未知数的值代入用代数式表示的方程，求出第三个未知数的值。
        5.  写出方程组的解。
    *   **方法二：加减消元**
        1.  选取一个未知数，观察三个方程中该未知数的系数。
        2.  通过适当的乘法，使得其中两个方程中该未知数的系数相同或互为相反数。
        3.  将这两个方程相加或相减，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程。
        4.  重复上述步骤，消去另一个未知数，最终得到一个一元一次方程。
        5.  解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
        6.  将求出的未知数的值代入之前得到的二元一次方程，求出另一个未知数的值。
        7.  将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出第三个未知数的值。
        8.  写出方程组的解。
    *   **技巧：** 灵活运用代入和加减，选择最简便的消元方法。可以多次使用加减法，也可以先使用代入法化简。

### 4. 特殊形式的方程组

*   **循环对称型：** 方程组中未知数循环出现，系数也呈现一定的对称性。解题时通常将方程相加或相减，简化方程组。

### 5. 应用

*   **与二元一次方程组类似，但涉及三个变量的关系。** 常见应用包括：
    *   涉及三个量的行程问题。
    *   涉及三个量的工程问题。
    *   涉及三种商品的利润问题。
    *   涉及三种物质的混合问题。
    *   涉及三位数的问题。

### 6. 注意事项

*   **检验：** 将求出的解代入原方程组进行检验，确保每个方程都成立。
*   **书写：** 解题过程要规范，步骤清晰，条理分明。
*   **灵活：** 遇到复杂问题，要灵活运用各种方法，找到最有效的解题途径。

## 三、思维导图总结

*   **核心：** 消元，将多元方程转化为一元方程。
*   **方法：** 代入消元，加减消元。
*   **应用：** 广泛应用于解决实际问题。
*   **关键：** 认真分析题意，准确建立方程组，并选择合适的解题方法。

# 《二元一次三元一次方程组思维导图》 ## 一、二元一次方程组 ### 1. 概念 * **定义：** 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的方程组成的方程组。 * **一般形式：** * ax + by = c * dx + ey = f * 其中 a, b, c, d, e, f 是常数，且 a, b 不同时为 0，d, e 不同时为 0。 ### 2. 解 * **解的定义：** 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值。 * **解的形式：** 一个有序数对 (x, y)。 ### 3. 解法 * **代入消元法** * **步骤：** 1. 选取一个方程，将其中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。 2. 将这个代数式代入另一个方程，得到一个一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的未知数的值代入用代数式表示的方程，求出另一个未知数的值。 5. 写出方程组的解。 * **适用情况：** 当某个方程中，某个未知数的系数为1或-1时，代入消元法较为简便。 * **加减消元法** * **步骤：** 1. 观察方程组中未知数的系数，选择一个未知数，使它们的系数绝对值相等（通常通过乘法实现）。 2. 将两个方程相加或相减，消去选定的未知数，得到一个一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。 5. 写出方程组的解。 * **适用情况：** 当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或倍数关系时，加减消元法较为简便。 ### 4. 特殊形式的方程组 * **系数对称型：** * 形式： ax + by = c 和 bx + ay = d * 解法：两式相加/减，得到 x+y 或 x-y 的值，再将其中一个值代入原方程组，求解。 * **比例式方程组：** * 形式：涉及比例关系的方程组 * 解法：将比例式转化为等式，例如 a/b = c/d => ad = bc, 然后与其他方程联立求解。 ### 5. 应用 * **行程问题：** 涉及速度、时间、路程的关系。 * **工程问题：** 涉及工作量、工作效率、工作时间的关系。 * **利润问题：** 涉及成本、售价、利润、利润率的关系。 * **浓度问题：** 涉及溶质、溶剂、溶液、浓度的关系。 * **数字问题：** 涉及个位、十位、百位等数字的关系。 * **其他问题：** 涉及数量关系分析，根据题意列方程组解决实际问题。 ## 二、三元一次方程组 ### 1. 概念 * **定义：** 含有三个未知数，且未知数的次数都是1的方程组成的方程组。 * **一般形式：** * ax + by + cz = d * ex + fy + gz = h * ix + jy + kz = l * 其中 a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l 是常数，且每一行方程中的a,b,c；e,f,g；i,j,k不能同时为0。 ### 2. 解 * **解的定义：** 使三元一次方程组中每个方程都成立的三个未知数的值。 * **解的形式：** 一个有序三元组 (x, y, z)。 ### 3. 解法 * **消元法：** 基本思想是将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。 * **方法一：代入消元** 1. 从一个方程中选取一个系数较为简单的未知数，用另外两个未知数表示。 2. 将此代数式代入另外两个方程，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程组。 3. 解这个二元一次方程组，求出另外两个未知数的值。 4. 将求出的两个未知数的值代入用代数式表示的方程，求出第三个未知数的值。 5. 写出方程组的解。 * **方法二：加减消元** 1. 选取一个未知数，观察三个方程中该未知数的系数。 2. 通过适当的乘法，使得其中两个方程中该未知数的系数相同或互为相反数。 3. 将这两个方程相加或相减，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程。 4. 重复上述步骤，消去另一个未知数，最终得到一个一元一次方程。 5. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 6. 将求出的未知数的值代入之前得到的二元一次方程，求出另一个未知数的值。 7. 将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出第三个未知数的值。 8. 写出方程组的解。 * **技巧：** 灵活运用代入和加减，选择最简便的消元方法。可以多次使用加减法，也可以先使用代入法化简。 ### 4. 特殊形式的方程组 * **循环对称型：** 方程组中未知数循环出现，系数也呈现一定的对称性。解题时通常将方程相加或相减，简化方程组。 ### 5. 应用 * **与二元一次方程组类似，但涉及三个变量的关系。** 常见应用包括： * 涉及三个量的行程问题。 * 涉及三个量的工程问题。 * 涉及三种商品的利润问题。 * 涉及三种物质的混合问题。 * 涉及三位数的问题。 ### 6. 注意事项 * **检验：** 将求出的解代入原方程组进行检验，确保每个方程都成立。 * **书写：** 解题过程要规范，步骤清晰，条理分明。 * **灵活：** 遇到复杂问题，要灵活运用各种方法，找到最有效的解题途径。 ## 三、思维导图总结 * **核心：** 消元，将多元方程转化为一元方程。 * **方法：** 代入消元，加减消元。 * **应用：** 广泛应用于解决实际问题。 * **关键：** 认真分析题意，准确建立方程组，并选择合适的解题方法。

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