《四年级上册的乘法和除法的思维导图》

一、 乘法

1. 两位数乘三位数的乘法

• 1.1 基础概念回顾

  *   乘法是加法的简便运算：表示相同加数的和的运算。
  *   乘法算式的各部分名称：因数 × 因数 = 积
  *   理解“倍”的概念：一个数是另一个数的多少倍。

• 1.2 竖式计算方法

  *   **步骤：**
      1.  数位对齐：将三位数的个位与两位数的个位对齐，十位与十位对齐。
      2.  分步计算：先用两位数的个位分别乘三位数的每一位，再用两位数的十位分别乘三位数的每一位。注意，十位上的数与三位数相乘，得到的积的末尾要和十位对齐。
      3.  加和：将两次相乘得到的积相加，得到最终的积。
  *   **注意事项：**
      1.  书写规范，数位对齐，避免出错。
      2.  注意进位，不要忘记加进位数字。
      3.  计算过程中可以估算，检验结果的合理性。

• 1.3 积的变化规律

  *   一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）相同的数。
  *   一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变。
  *   灵活运用积的变化规律进行简便计算。例如：25 × 16 = 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400

• 1.4 估算

  *   将因数进行近似处理，转化为整十、整百、整千数进行计算。
  *   估算可以检验计算结果的合理性，避免出现较大错误。
  *   估算方法：四舍五入法，去尾法，进一法。根据实际情况选择合适的估算方法。

• 1.5 应用题

  *   总价 = 单价 × 数量
  *   路程 = 速度 × 时间
  *   工作总量 = 工作效率 × 工作时间
  *   分析题意，确定数量关系，列出乘法算式。

2. 乘法运算律

• 2.1 乘法交换律

  *   定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  *   公式：a × b = b × a
  *   应用：简化计算，例如：25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700

• 2.2 乘法结合律

  *   定义：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。
  *   公式：(a × b) × c = a × (b × c)
  *   应用：简化计算，例如：8 × 39 × 125 = 39 × (8 × 125) = 39 × 1000 = 39000

• 2.3 乘法分配律

  *   定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将两个积相加，结果不变。
  *   公式：(a + b) × c = a × c + b × c  或者  a × (b + c) = a × b + a × c
  *   反向运用：a × c + b × c = (a + b) × c  或者  a × b + a × c = a × (b + c)
  *   应用：简化计算，例如：12 × (100 + 5) = 12 × 100 + 12 × 5 = 1200 + 60 = 1260； 35 × 98 + 35 × 2 = 35 × (98 + 2) = 35 × 100 = 3500

二、 除法

1. 除数是两位数的除法

• 1.1 基础概念回顾

  *   除法是乘法的逆运算：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  *   除法算式的各部分名称：被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数
  *   理解“平均分”的概念。

• 1.2 竖式计算方法

  *   **步骤：**
      1.  确定商的位置：先看被除数的前两位（或三位），如果比除数小，就看前三位。
      2.  试商：用估算的方法确定商的大小。
      3.  计算：用商乘除数，得到的积写在被除数的下面。
      4.  相减：用被除数减去商与除数的积，得到余数。
      5.  检查：余数必须小于除数。
      6.  继续除：将余数与被除数下一位数字合并，继续除。
  *   **注意事项：**
      1.  商的书写位置要正确，要和被除数的数位对齐。
      2.  如果不够商1，要用0占位。
      3.  每次余数都要比除数小。
      4.  注意验算：商 × 除数 + 余数 = 被除数

• 1.3 商的变化规律

  *   被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。
  *   被除数不变，除数乘（或除以）几，商反而除以（或乘）相同的数。
  *   除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）相同的数。
  *   灵活运用商的变化规律进行简便计算。例如： 480 ÷ 80 = (480 ÷ 10) ÷ (80 ÷ 10) = 48 ÷ 8 = 6

• 1.4 估算

  *   将被除数和除数进行近似处理，转化为整十、整百数进行计算。
  *   估算可以检验计算结果的合理性，避免出现较大错误。

• 1.5 应用题

  *   单价 = 总价 ÷ 数量
  *   速度 = 路程 ÷ 时间
  *   工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
  *   分析题意，确定数量关系，列出除法算式。
  *   包含除和等分除的区别和应用。

2. 商不变的性质

• 2.1 定义

  *   被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

• 2.2 公式

  *   (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b  (c ≠ 0)
  *   (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b  (c ≠ 0)

• 2.3 应用

  *   简化计算，尤其是除数是两位数的除法。
  *   例如： 800 ÷ 25 = (800 × 4) ÷ (25 × 4) = 3200 ÷ 100 = 32

3. 中括号的应用

• 3.1 运算顺序

  *   先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。

• 3.2 应用

  *   改变运算顺序，解决需要两步或两步以上计算的实际问题。
  *   注意审题，理解题意，正确使用括号。

4. 解决问题

• 4.1 策略

  *   认真读题，理解题意。
  *   分析数量关系，确定解题思路。
  *   选择合适的运算方法。
  *   检验解答是否正确。

• 4.2 常见题型

  *   行程问题：相遇问题，追及问题。
  *   工程问题：合作完成，单独完成。
  *   购物问题：单价、数量、总价的关系。
  *   植树问题：间隔问题，首尾植树问题。

• 4.3 注意事项

  *   单位名称要统一。
  *   注意题目中的隐含条件。
  *   答案要符合实际情况。

三、 总结

• 熟练掌握乘法和除法的计算方法，包括竖式计算、估算和简便计算。
• 理解乘法运算律和商不变的性质，并能灵活运用。
• 提高解决问题的能力，能够分析题意，选择合适的解题方法，并检验解答是否正确。
• 注重计算的准确性和速度，养成良好的计算习惯。