九上数学思维导图二次函数

《九上数学思维导图二次函数》

一、定义与一般形式

• 定义： 形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数称为二次函数。
• 一般形式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
  • a：二次项系数，决定开口方向和大小。
  • b：一次项系数，影响对称轴位置。
  • c：常数项，决定与 y 轴的交点。
• 特殊形式：
  • 顶点式： y = a(x - h)² + k (顶点坐标 (h, k))
  • 交点式： y = a(x - x₁)(x - x₂) (与 x 轴交点 (x₁, 0), (x₂, 0))
  • 当 b = 0 时： y = ax² + c (对称轴为 y 轴)
  • 当 c = 0 时： y = ax² + bx (过原点)

二、图像与性质

• 图像： 抛物线
  • 开口方向：
    • a > 0：开口向上，有最小值。
    • a < 0：开口向下，有最大值。
  • 对称轴： x = -b / 2a
  • 顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 即 (h, k)
  • 与 y 轴交点： (0, c)
  • 与 x 轴交点：
    • Δ = b² - 4ac > 0：有两个不同的交点。
    • Δ = b² - 4ac = 0：有一个交点（与 x 轴相切）。
    • Δ = b² - 4ac < 0：没有交点。
• 性质：
  • 增减性：
    • a > 0：对称轴左侧递减，右侧递增。
    • a < 0：对称轴左侧递增，右侧递减。
  • 最值：
    • a > 0：顶点处有最小值，为 k = (4ac - b²) / 4a
    • a < 0：顶点处有最大值，为 k = (4ac - b²) / 4a
  • 对称性： 抛物线关于对称轴对称。
  • 平移： y = ax² 通过平移可得到 y = a(x - h)² + k
    • 向左平移 h 个单位 (h > 0)
    • 向右平移 h 个单位 (h < 0)
    • 向上平移 k 个单位 (k > 0)
    • 向下平移 k 个单位 (k < 0)

三、图像变换

• 平移变换： (h, k) 的平移对应于 y = a(x - h)² + k
• 对称变换：
  • 关于 x 轴对称： y 变为 -y (y = ax² + bx + c 变为 y = -ax² - bx - c)
  • 关于 y 轴对称： x 变为 -x (y = ax² + bx + c 变为 y = ax² - bx + c)
  • 关于原点对称： x 变为 -x, y 变为 -y (y = ax² + bx + c 变为 y = -ax² + bx - c)
• 翻折变换： 通常结合绝对值讨论
  • y = |ax² + bx + c|：将 x 轴下方的图像翻折到上方。
  • y = a(x - h)² + k 翻折后图像的性质。

四、与坐标轴的交点

• 与 y 轴交点： 直接令 x = 0，求得 y = c，交点坐标为 (0, c)。
• 与 x 轴交点： 令 y = 0，解方程 ax² + bx + c = 0。
  • Δ > 0：有两个交点 (x₁, 0), (x₂, 0)，x₁ 和 x₂ 是方程的两个根。 利用韦达定理：x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a
  • Δ = 0：有一个交点 (-b/2a, 0)，方程有两个相等的实根。
  • Δ < 0：没有交点，方程无实根。
• 交点式： 若与 x 轴交点为 (x₁, 0), (x₂, 0)，则可以设函数为 y = a(x - x₁)(x - x₂)。

五、待定系数法

• 思路： 根据已知条件，选择合适的函数形式，代入已知点坐标，列方程组，解方程组求出未知系数。
• 常见类型：
  • 已知顶点坐标或对称轴： 设顶点式 y = a(x - h)² + k，代入其他已知点坐标。
  • 已知与 x 轴的两个交点： 设交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)，代入其他已知点坐标。
  • 已知三个点坐标： 设一般式 y = ax² + bx + c，代入三个点坐标，解三元一次方程组。
  • 已知对称轴及图像上两点： 可根据对称轴求出第三个点，转化为已知三个点坐标。

六、实际应用

• 最大利润问题： 将利润表示成关于销售量或价格的二次函数，利用顶点坐标求最大值。
• 抛物线形拱桥问题： 建立坐标系，将拱桥看作抛物线的一部分，利用二次函数知识解决问题。
• 运动轨迹问题： 分析物体的运动轨迹，建立坐标系，用二次函数描述轨迹。
• 其他优化问题： 涉及最大值、最小值的问题，可以尝试用二次函数解决。

七、解题技巧与注意事项

• 数形结合： 结合图像分析问题，有助于理解题意，找到解题思路。
• 灵活选择函数形式： 根据已知条件，选择最合适的函数形式，简化计算。
• 注意 a 的符号： a 的符号决定开口方向和最值情况。
• 掌握韦达定理： 在涉及与 x 轴交点的问题中，可以利用韦达定理简化计算。
• 分类讨论： 在涉及参数的问题中，要注意分类讨论，考虑各种情况。
• 注意单位和实际意义： 尤其是在实际应用问题中，要注意单位的统一和结果的实际意义。

八、例题类型

• 求二次函数的解析式。
• 判断二次函数的图像特征（开口方向、对称轴、顶点坐标等）。
• 求二次函数的最值。
• 解决与二次函数相关的实际问题。
• 求二次函数与直线或其它函数的交点。
• 利用二次函数解决几何问题。
• 二次函数综合题。

九、易错点

• 忘记考虑 a ≠ 0 的条件。
• 混淆顶点式和一般式。
• 计算顶点坐标时出现错误。
• 忽略 a 的符号对图像的影响。
• 在实际问题中，单位不统一。
• 无法正确建立坐标系。
• 不注意自变量的取值范围。
• 对于图像的平移和对称变换掌握不牢固。