《小学四年级运算律思维导图》

中心主题：运算律

一级分支：加法运算律

二级分支：加法交换律

• 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
• 公式： a + b = b + a
• 示例：
  • 5 + 3 = 3 + 5 = 8
  • 12 + 25 = 25 + 12 = 37
• 应用场景：
  • 简化计算，例如：27 + 13 + 73，可以先算 27 + 73 = 100，再算 100 + 13 = 113
  • 验算加法算式，通过交换加数位置，验证结果是否一致。
• 易错点： 只有加法运算才能使用交换律，减法不能。
• 图形表示： 可以用箭头表示交换的过程，例如：a -> +b = b -> +a

二级分支：加法结合律

• 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
• 示例：
  • (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
  • (10 + 20) + 30 = 10 + (20 + 30) = 60
• 应用场景：
  • 凑整计算，例如：45 + 16 + 84，可以先算 16 + 84 = 100，再算 45 + 100 = 145
  • 分组计算，方便计算大量数据的和。
• 易错点： 结合律必须是连加运算，有减法时不能直接使用。
• 图形表示： 可以用括号表示结合的部分，突出结合的过程。
• 变式应用: a + b + c + d = (a+b) + (c+d) = (a+d) + (b+c)

一级分支：乘法运算律

二级分支：乘法交换律

• 定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
• 公式： a × b = b × a
• 示例：
  • 2 × 5 = 5 × 2 = 10
  • 15 × 4 = 4 × 15 = 60
• 应用场景：
  • 简化计算，例如：25 × 3 × 4，可以先算 25 × 4 = 100，再算 100 × 3 = 300
  • 验算乘法算式，通过交换乘数位置，验证结果是否一致。
• 易错点： 只有乘法运算才能使用交换律，除法不能。
• 图形表示： 类似于加法交换律，用箭头表示交换的过程。

二级分支：乘法结合律

• 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
• 示例：
  • (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3) = 30
  • (4 × 25) × 7 = 4 × (25 × 7) = 700
• 应用场景：
  • 凑整计算，例如：8 × 13 × 125，可以先算 8 × 125 = 1000，再算 1000 × 13 = 13000
  • 分组计算，方便计算大量数据的积。
• 易错点： 结合律必须是连乘运算，有除法时不能直接使用。
• 图形表示： 类似于加法结合律，用括号表示结合的部分。
• 变式应用: a × b × c × d = (a×b) × (c×d) = (a×d) × (b×c)

二级分支：乘法分配律

• 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
• 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
  • 反向公式： a × c + b × c = (a + b) × c
• 示例：
  • (4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 27
  • 12 × 5 + 8 × 5 = (12 + 8) × 5 = 100
• 应用场景：
  • 简化计算，例如：(10 + 2) × 5，可以算 10 × 5 + 2 × 5 = 50 + 10 = 60
  • 将复杂乘法转化为简单乘法和加法。
• 易错点：
  • 区分 (a + b) × c 和 a + b × c 的区别。
  • 分配律适用于加法和减法，(a - b) × c = a × c - b × c
• 图形表示： 可以用箭头表示分配的过程，例如：(a+b) -> ×c = a×c + b×c
• 扩展： (a + b + c) × d = a × d + b × d + c × d
• 逆用： a×c - b×c = (a - b) × c

一级分支：减法的性质

• 定义： 从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数再减去第一个数。
• 公式： a - b - c = a - (b + c) = a - c - b
• 示例：
  • 10 - 3 - 2 = 10 - (3 + 2) = 10 - 5 = 5
  • 25 - 7 - 3 = 25 - (7 + 3) = 25 - 10 = 15
• 应用场景： 简化计算，将复杂的减法运算转换为简单的加法运算。
• 易错点： 注意括号的使用，以及符号的变化。
• 图形表示： 类似于加法结合律，用括号表示结合的部分。

一级分支：除法的性质

• 定义： 一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积，也可以先除以第二个数再除以第一个数。
• 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) = a ÷ c ÷ b
• 示例：
  • 24 ÷ 2 ÷ 3 = 24 ÷ (2 × 3) = 24 ÷ 6 = 4
  • 100 ÷ 5 ÷ 4 = 100 ÷ (5 × 4) = 100 ÷ 20 = 5
• 应用场景： 简化计算，将复杂的除法运算转换为简单的乘法运算。
• 易错点： 注意括号的使用，以及运算顺序。
• 图形表示： 类似于加法结合律，用括号表示结合的部分。

一级分支：综合应用

• 混合运算： 在一个算式中，可能同时包含加法、减法、乘法和除法，需要综合运用各种运算律进行简化计算。
• 解决实际问题： 运用运算律解决生活中的实际问题，例如：计算商品的总价、平均数等。
• 技巧总结：
  • 观察算式，寻找可以运用运算律的特点。
  • 灵活运用各种运算律，简化计算过程。
  • 注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号里的。
• 常见题型：
  • 简便计算题：利用运算律进行简便计算。
  • 填空题：根据运算律填写合适的数字。
  • 判断题：判断是否正确运用了运算律。
  • 应用题：运用运算律解决实际问题。
• 总结: 灵活应用运算律，可以提高计算速度和准确性，是小学数学学习的重要组成部分。