《多边形面积思维导图五上》
中心主题：多边形面积
一、基础概念
-
面积的定义：
- 物体表面或封闭图形的大小。
- 计量单位：平方米(m²)，平方分米(dm²)，平方厘米(cm²)
- 单位换算：1 m² = 100 dm²，1 dm² = 100 cm²，1 m² = 10000 cm²
-
常见多边形：
- 正方形
- 长方形
- 平行四边形
- 三角形
- 梯形
-
底和高：
- 平行四边形：底与高的概念（垂直关系）
- 三角形：底与高的概念（垂直关系），理解不同底边对应不同的高
- 梯形：上底、下底、高（垂直关系）
二、公式推导及应用
-
正方形面积：
- 公式：面积 = 边长 × 边长 (S = a²)
- 特点：四边相等，四个角都是直角
- 应用：计算正方形地砖面积，正方形纸张面积等
-
长方形面积：
- 公式：面积 = 长 × 宽 (S = ab)
- 特点：对边相等，四个角都是直角
- 应用：计算教室地面面积，操场跑道面积等
-
平行四边形面积：
- 推导过程：
- 割补法：通过剪切和平移，将平行四边形转化为长方形。
- 长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高。
- 公式：面积 = 底 × 高 (S = ah)
- 注意：必须是底边对应的高。
- 应用：计算花坛面积，广告牌面积等
- 推导过程：
-
三角形面积：
- 推导过程：
- 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
- 三角形的底是平行四边形的底，三角形的高是平行四边形的高。
- 三角形面积是平行四边形面积的一半。
- 公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah/2)
- 注意：必须是底边对应的高，除以2。
- 应用：计算红领巾面积，三角形地块面积等
- 推导过程：
-
梯形面积：
- 推导过程：
- 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
- 平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高。
- 梯形面积是平行四边形面积的一半。
- 公式：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a+b)h/2)
- 注意：上底、下底的和，再乘以高，最后除以2。
- 应用：计算水渠横截面积，堤坝横截面积等
- 推导过程：
三、组合图形面积
- 定义： 由几个简单的图形组合而成的图形。
- 计算方法：
- 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
- 选择合适的分割线，力求分割后的图形简单，便于计算。
- 添补法：通过添加辅助线，将组合图形补充成一个完整的图形，用完整图形的面积减去添加部分的面积。
- 观察图形的特征，选择合适的添补方法，使计算更简便。
- 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
- 注意事项：
- 明确图形之间的关系，避免重复计算或遗漏部分。
- 灵活运用分割法和添补法，选择最合适的计算方法。
四、不规则图形面积
- 定义： 形状不规则，无法直接用公式计算面积的图形。
- 估算方法：
- 数格法：将不规则图形放在方格纸上，数出完整格子的数量和不满格子的数量，根据格子的大小估算面积。
- 近似转化法：将不规则图形近似看作规则图形，利用规则图形的面积公式进行估算。
- 注意事项：
- 选择合适的方格大小，格子越小，估算结果越精确。
- 在数格子时，对于不满格子的处理，可以取平均值或估算。
五、面积单位的实际应用
- 选择合适的面积单位：
- 测量教室、操场等较大的面积，通常用平方米(m²)或公顷(ha)。
- 测量课本、桌面等较小的面积，通常用平方分米(dm²)或平方厘米(cm²)。
- 测量土地面积，常用公顷(ha)或平方千米(km²)。
- 解决实际问题：
- 计算铺设地砖、粉刷墙壁所需的材料数量。
- 计算耕地面积、房屋占地面积等。
- 比较不同形状的土地面积大小。
六、易错点及难点
- 平行四边形、三角形、梯形面积公式中高的选取。
- 必须是底边对应的高，注意垂直关系。
- 组合图形面积计算中，分割或添补方法的选择。
- 选择最简便的方法，避免重复计算或遗漏。
- 单位换算。
- 注意平方单位之间的进率是100。
- 不规则图形面积的估算。
- 估算结果的精确性取决于方格的大小和估算方法的选择。
- 对公式的理解和灵活运用，避免死记硬背。
七、思维拓展
- 割补法在几何中的应用。
- 用于解决各种几何问题，例如证明等积变形等。
- 面积与周长的区别。
- 面积是封闭图形的大小，周长是封闭图形一周的长度。
- 面积计算在生活中的实际应用。
- 房屋装修，园林设计，农田规划等。
这个思维导图涵盖了小学五年级上册关于多边形面积的主要知识点，并进行了拓展，有助于学生更系统地理解和掌握相关内容。