《与圆有关的计算思维导图九下》

一、圆的基本概念及性质

1.1 圆的定义

• 定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆。
• 圆心：定点。
• 半径：定长，通常用r表示。
• 表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O。

1.2 弦、直径、弧、圆心角、圆周角

• 弦：连接圆上任意两点的线段。
• 直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦。直径d = 2r。
• 弧：圆上任意两点之间的部分。
  • 优弧：大于半圆的弧。
  • 劣弧：小于半圆的弧。
  • 半圆：圆的直径所对的弧。
• 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。
• 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。

1.3 圆的性质

• 同圆或等圆的半径相等。
• 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线。
• 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

1.4 垂径定理及其推论

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
• 推论：
  • 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
  • 弦的垂直平分线经过圆心。
  • 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

1.5 圆心角、弧、弦的关系

• 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
• 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
• 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。

1.6 圆周角定理及其推论

• 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
• 推论：
  • 同弧或等弧所对的圆周角相等；
  • 直径所对的圆周角是直角；
  • 90°的圆周角所对的弦是直径。
• 圆内接四边形的对角互补。

二、直线与圆的位置关系

2.1 直线和圆的三种位置关系

• 相交：直线与圆有两个交点。d < r
• 相切：直线与圆有唯一一个交点。d = r
• 相离：直线与圆没有交点。d > r
  • d：圆心到直线的距离。
  • r：圆的半径。

2.2 切线的判定与性质

• 切线的判定：
  • 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
  • 定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
• 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
• 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

2.3 三角形的内切圆

• 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
• 内切圆的圆心：三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
• 内心到三边的距离相等，都等于内切圆的半径。

三、圆与圆的位置关系

3.1 圆与圆的五种位置关系

• 外离：两圆没有公共点，圆心距大于两圆半径之和 (d > R + r)。
• 外切：两圆有唯一一个公共点，圆心距等于两圆半径之和 (d = R + r)。
• 相交：两圆有两个公共点，圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差 (R - r < d < R + r)。
• 内切：两圆有唯一一个公共点，圆心距等于两圆半径之差 (d = R - r, R>r)。
• 内含：两圆没有公共点，圆心距小于两圆半径之差 (d < R - r, R>r)。
  • R：大圆的半径。
  • r：小圆的半径。
  • d：两圆的圆心距。

3.2 两圆的公切线

• 内公切线：一条直线同时与两个圆相切，且两个圆在直线的两侧。
• 外公切线：一条直线同时与两个圆相切，且两个圆在直线的同侧。

四、正多边形与圆

4.1 正多边形的定义

• 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
• 正多边形是轴对称图形，也是中心对称图形。

4.2 正多边形与圆的关系

• 如果把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
• 如果把一个圆分成n（n≥3）等份，过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
• 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

4.3 正多边形的中心、半径、边心距、中心角

• 正多边形的中心：正多边形外接圆或内切圆的圆心。
• 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
• 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
• 正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的圆心角。 中心角 = 360°/n (n为正多边形的边数)

五、弧长与扇形面积的计算

5.1 弧长公式

• 弧长公式：l = (nπr)/180 （n为弧所对的圆心角的度数，r为半径）

5.2 扇形面积公式

• 扇形面积公式：S = (nπr²)/360 = (1/2)lr （n为扇形所对的圆心角的度数，r为半径，l为弧长）

5.3 圆锥的侧面积和全面积

• 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。
• 圆锥的侧面积： S侧 = πrl (r为底面圆的半径，l为母线长)
• 圆锥的全面积：S全 = S侧 + S底 = πrl + πr²

六、与圆有关的综合计算

6.1 利用圆的性质进行计算

• 利用垂径定理求弦长、半径等。
• 利用圆周角定理及推论求角度。
• 利用切线的性质进行计算。

6.2 利用相似三角形进行计算

• 构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
• 常利用切线与弦的夹角等于所夹弧所对的圆周角的性质构造相似三角形。

6.3 利用勾股定理进行计算

• 构造直角三角形，利用勾股定理求解。

6.4 利用三角函数进行计算

• 构造直角三角形，利用三角函数求解。

6.5 与圆有关的动点问题

• 分析动点运动的轨迹，确定最值位置。
• 常结合相似三角形、三角函数等知识。

6.6 与圆有关的实际问题

• 将实际问题转化为数学问题，利用圆的知识求解。
• 例如：拱桥问题、管道问题等。

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