《数与代数思维导图三上》
一、数的认识与表达
1.1 自然数
- 定义: 用于计数物体个数的整数（0, 1, 2, 3...）
- 特征:
- 最小的自然数是0。
- 自然数的个数是无限的。
- 相邻的两个自然数相差1。
- 计数单位: 个、十、百、千、万... 每个计数单位之间是十进制关系。
- 数位: 个位、十位、百位、千位、万位... 数位按照一定的顺序排列，形成数位顺序表。
- 读法: 从高位读起，一级一级地读。每级末尾的0不读，中间有一个或连续几个0，都只读一个“零”。
- 写法: 从高位写起，哪一位上一个计数单位也没有，就写0占位。
- 数的组成: 用数位上的数字和计数单位表示数的实际大小。 例如： 3256 = 3个千 + 2个百 + 5个十 + 6个一
1.2 整数
- 定义: 包括正整数、零和负整数。
- 数轴: 用一条直线上的点来表示数，这条直线叫做数轴。
- 原点： 数轴上表示0的点。
- 正方向： 数轴上，从原点向右的方向。
- 单位长度： 数轴上，相邻两个刻度之间的长度。
- 大小比较: 在数轴上，右边的数总比左边的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
1.3 小数的初步认识
- 定义: 把整数“1”平均分成10份、100份、1000份…… 这样的一份或几份可以用小数表示。
- 计数单位: 十分之一、百分之一、千分之一…… 写作0.1，0.01，0.001……
- 数位: 小数点左边是整数部分，小数点右边是小数部分，依次是十分位、百分位、千分位……
- 读法: 整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分从左往右依次读出每个数字。 例如： 3.14 读作： 三点一四
- 写法: 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分从左往右依次写出每个数字。
- 大小比较:
- 先比较整数部分，整数部分大的小数就大。
- 如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的小数就大。
- 如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的小数就大……
二、数的运算
2.1 加法
- 意义: 把两个或两个以上的数合并成一个数的运算。
- 加法算式: 加数 + 加数 = 和
- 性质:
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 估算: 根据实际情况，把数看作与它接近的整十、整百或整千数，进行估算。
- 应用: 解决实际问题，例如求总数、求和。
2.2 减法
- 意义: 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
- 减法算式: 被减数 - 减数 = 差
- 性质: 减法是加法的逆运算。
- 验算:
- 用加法验算： 差 + 减数 = 被减数
- 用减法验算： 被减数 - 差 = 减数
- 估算: 根据实际情况，把数看作与它接近的整十、整百或整千数，进行估算。
- 应用: 解决实际问题，例如求剩余、求相差数。
2.3 乘法
- 意义: 求几个相同加数的和的简便运算。
- 乘法算式: 因数 × 因数 = 积
- 性质:
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
- 估算: 根据实际情况，把数看作与它接近的整十、整百或整千数，进行估算。
- 一位数乘多位数:
- 从个位乘起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
- 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
- 应用: 解决实际问题，例如求总数、求倍数。
2.4 除法
- 意义: 把一个数平均分成若干份，求每份是多少的运算；或者求一个数里包含几个另一个数的运算。
- 除法算式: 被除数 ÷ 除数 = 商
- 性质: 除法是乘法的逆运算。
- 验算: 商 × 除数 + 余数 = 被除数
- 估算: 根据实际情况，把数看作与它接近的整十、整百或整千数，进行估算。
- 一位数除多位数:
- 从被除数的高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位，如果不够除，再试除前两位。
- 求出商后，每次除得的余数要比除数小。
- 应用: 解决实际问题，例如平均分、求份数。
- 余数: 除法算式中，除不尽的部分叫做余数。余数一定要比除数小。
2.5 混合运算
- 运算顺序:
- 只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算。
- 既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，再算加减法。
- 有括号的，要先算括号里面的。
三、量的计量
3.1 长度单位
- 常用单位: 千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）
- 单位换算:
- 1千米 = 1000米
- 1米 = 10分米
- 1分米 = 10厘米
- 1厘米 = 10毫米
3.2 质量单位
- 常用单位: 吨（t）、千克（kg）、克（g）
- 单位换算:
- 1吨 = 1000千克
- 1千克 = 1000克
3.3 时间单位
- 常用单位: 年、月、日、时、分、秒
- 单位换算:
- 1年 = 12个月
- 1天 = 24小时
- 1小时 = 60分钟
- 1分钟 = 60秒
- 闰年: 能被4整除但不能被100整除的年份，或者能被400整除的年份。
- 大月: 1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月 (31天)
- 小月: 4月、6月、9月、11月 (30天)
- 平月: 2月 (28天或29天)
四、常见的量
4.1 周长
- 定义: 封闭图形一周的长度。
- 长方形周长: (长 + 宽) × 2
- 正方形周长: 边长 × 4
4.2 面积
- 定义: 物体的表面或封闭图形的大小。
- 单位: 平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）
- 单位换算: 1平方米 = 100平方分米, 1平方分米 = 100平方厘米
- 长方形面积: 长 × 宽
- 正方形面积: 边长 × 边长
五、应用题
- 解题步骤:
- 认真审题，理解题意，弄清已知条件和问题。
- 分析数量关系，确定先算什么，再算什么。
- 列式计算，算出结果。
- 检验答案，写出答语。
- 常见类型:
- 加法应用题
- 减法应用题
- 乘法应用题
- 除法应用题
- 混合运算应用题
- 周长和面积应用题
六、思维提升
- 数感培养: 通过多种形式的练习，培养学生对数的敏感性和直觉。
- 估算能力: 培养学生运用估算解决实际问题的能力。
- 解决问题能力: 培养学生分析问题、解决问题的能力。
- 数学建模: 尝试用数学语言描述现实世界的问题。
- 逻辑推理: 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。