多边形思维导图五上

# 《多边形思维导图五上》

## 一、多边形的初步认识

### 1.1 定义

*   由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭图形。
*   线段必须是直的，不能是曲线。
*   必须是封闭图形，不能有缺口。

### 1.2 组成要素

*   **边：** 组成多边形的线段。
*   **顶点：** 相邻两边的交点。
*   **角：** 相邻两边所成的角，分为内角和外角（五年级不涉及外角）。

### 1.3 多边形的命名

*   根据边的数量来命名：
    *   三边形 (三角形)
    *   四边形
    *   五边形
    *   六边形
    *   七边形
    *   八边形
    *   以此类推，n边形

### 1.4 常见的平面图形

*   **三角形：**
    *   三条边，三个角。
    *   特性：具有稳定性（不易变形）。
*   **四边形：**
    *   四条边，四个角。
    *   包括：正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形（五年级上册不重点学习菱形）。
*   **圆：**
    *   不是多边形，没有边和顶点，由曲线围成。

## 二、三角形

### 2.1 三角形的分类

*   **按角分：**
    *   **锐角三角形：** 三个角都是锐角（小于90度）。
    *   **直角三角形：** 有一个角是直角（等于90度）。
        *   直角三角形的特性：两个锐角之和等于90度。
    *   **钝角三角形：** 有一个角是钝角（大于90度小于180度）。
*   **按边分：**
    *   **不等边三角形：** 三条边都不相等。
    *   **等腰三角形：** 有两条边相等。
        *   等腰三角形的特性：两个底角相等。
        *   **等边三角形：** 三条边都相等。
            *   等边三角形的特性：三个角都是60度。
            *   等边三角形是特殊的等腰三角形。

### 2.2 三角形的高与底

*   **定义：** 从三角形的一个顶点到对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
*   **每个三角形都有三条高。**
*   **找高的方法：** 垂直于底边的线段。
*   **直角三角形的高：** 以直角边互为底和高，斜边也可以作为底，相应的高是顶点到斜边的垂线段。
*   **钝角三角形的高：**  可能有一条高在三角形的外部（要延长底边）。

### 2.3 三角形的特性

*   **稳定性：** 三角形具有稳定性，不易变形，因此广泛应用于建筑、桥梁等领域。
*   **两边之和大于第三边：** 任意两边长度的和大于第三边。
    *   应用：判断三条线段能否组成三角形。
*   **内角和：** 三角形的三个内角之和等于180度。
    *   应用：已知三角形的两个角，可以求出第三个角。

## 三、平行四边形

### 3.1 定义

*   两组对边分别平行的四边形。

### 3.2 特性

*   **对边平行且相等。**
*   **对角相等。**
*   **不稳定性：** 容易变形。
*   **高与底：** 从平行四边形一条边上的任意一点到对边的垂线段，叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。

### 3.3 平行四边形的面积

*   **公式：** 面积 = 底 × 高 (S = bh)
*   **推导过程：** 将平行四边形沿高剪开，平移后可以拼成一个长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

## 四、梯形

### 4.1 定义

*   只有一组对边平行的四边形。

### 4.2 组成要素

*   **上底：** 较短的平行边。
*   **下底：** 较长的平行边。
*   **腰：** 两条不平行的边。
*   **高：** 上底和下底之间的距离（垂直于上下底的线段）。

### 4.3 特殊梯形

*   **等腰梯形：** 两腰相等的梯形。
    *   特性：同一底上的两个角相等。
*   **直角梯形：** 有一个角是直角的梯形。

### 4.4 梯形的面积

*   **公式：** 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
*   **推导过程：**  用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，所以梯形的面积等于平行四边形面积的一半。

## 五、组合图形的面积

### 5.1 定义

*   由几个简单的图形组合而成的图形。

### 5.2 面积计算

*   **方法一：分割法**
    *   将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算各个简单图形的面积，然后将各个面积相加。
*   **方法二：添补法**
    *   给组合图形添补上一些简单的图形，使其变成一个较大的简单图形，先计算出较大简单图形的面积，然后减去添补部分的面积。

### 5.3 注意事项

*   选择合适的分割或添补方法，尽量减少计算步骤。
*   认真分析图形的组成，明确各个简单图形的边长和高。
*   注意单位换算，确保计算结果的单位一致。
*   根据实际情况选择合适的计算方法，力求简便。

## 六、易错点

*   区分平行四边形和梯形：平行四边形两组对边都平行，梯形只有一组对边平行。
*   找三角形、平行四边形和梯形的高时，要注意垂直的关系。
*   计算组合图形的面积时，要明确各个简单图形的边长和高，避免重复计算或遗漏。
*   注意单位换算，保持单位一致。
*   三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
*   等腰三角形的两个底角相等，等边三角形三个角都是60度。

这部分内容是小学五年级上册关于多边形的重点知识，理解这些概念和公式，并能够灵活运用解决实际问题，是学习几何图形的基础。

# 《多边形思维导图五上》 ## 一、多边形的初步认识 ### 1.1 定义 * 由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭图形。 * 线段必须是直的，不能是曲线。 * 必须是封闭图形，不能有缺口。 ### 1.2 组成要素 * **边：** 组成多边形的线段。 * **顶点：** 相邻两边的交点。 * **角：** 相邻两边所成的角，分为内角和外角（五年级不涉及外角）。 ### 1.3 多边形的命名 * 根据边的数量来命名： * 三边形 (三角形) * 四边形 * 五边形 * 六边形 * 七边形 * 八边形 * 以此类推，n边形 ### 1.4 常见的平面图形 * **三角形：** * 三条边，三个角。 * 特性：具有稳定性（不易变形）。 * **四边形：** * 四条边，四个角。 * 包括：正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形（五年级上册不重点学习菱形）。 * **圆：** * 不是多边形，没有边和顶点，由曲线围成。 ## 二、三角形 ### 2.1 三角形的分类 * **按角分：** * **锐角三角形：** 三个角都是锐角（小于90度）。 * **直角三角形：** 有一个角是直角（等于90度）。 * 直角三角形的特性：两个锐角之和等于90度。 * **钝角三角形：** 有一个角是钝角（大于90度小于180度）。 * **按边分：** * **不等边三角形：** 三条边都不相等。 * **等腰三角形：** 有两条边相等。 * 等腰三角形的特性：两个底角相等。 * **等边三角形：** 三条边都相等。 * 等边三角形的特性：三个角都是60度。 * 等边三角形是特殊的等腰三角形。 ### 2.2 三角形的高与底 * **定义：** 从三角形的一个顶点到对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 * **每个三角形都有三条高。** * **找高的方法：** 垂直于底边的线段。 * **直角三角形的高：** 以直角边互为底和高，斜边也可以作为底，相应的高是顶点到斜边的垂线段。 * **钝角三角形的高：** 可能有一条高在三角形的外部（要延长底边）。 ### 2.3 三角形的特性 * **稳定性：** 三角形具有稳定性，不易变形，因此广泛应用于建筑、桥梁等领域。 * **两边之和大于第三边：** 任意两边长度的和大于第三边。 * 应用：判断三条线段能否组成三角形。 * **内角和：** 三角形的三个内角之和等于180度。 * 应用：已知三角形的两个角，可以求出第三个角。 ## 三、平行四边形 ### 3.1 定义 * 两组对边分别平行的四边形。 ### 3.2 特性 * **对边平行且相等。** * **对角相等。** * **不稳定性：** 容易变形。 * **高与底：** 从平行四边形一条边上的任意一点到对边的垂线段，叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。 ### 3.3 平行四边形的面积 * **公式：** 面积 = 底 × 高 (S = bh) * **推导过程：** 将平行四边形沿高剪开，平移后可以拼成一个长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 ## 四、梯形 ### 4.1 定义 * 只有一组对边平行的四边形。 ### 4.2 组成要素 * **上底：** 较短的平行边。 * **下底：** 较长的平行边。 * **腰：** 两条不平行的边。 * **高：** 上底和下底之间的距离（垂直于上下底的线段）。 ### 4.3 特殊梯形 * **等腰梯形：** 两腰相等的梯形。 * 特性：同一底上的两个角相等。 * **直角梯形：** 有一个角是直角的梯形。 ### 4.4 梯形的面积 * **公式：** 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2) * **推导过程：** 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，所以梯形的面积等于平行四边形面积的一半。 ## 五、组合图形的面积 ### 5.1 定义 * 由几个简单的图形组合而成的图形。 ### 5.2 面积计算 * **方法一：分割法** * 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算各个简单图形的面积，然后将各个面积相加。 * **方法二：添补法** * 给组合图形添补上一些简单的图形，使其变成一个较大的简单图形，先计算出较大简单图形的面积，然后减去添补部分的面积。 ### 5.3 注意事项 * 选择合适的分割或添补方法，尽量减少计算步骤。 * 认真分析图形的组成，明确各个简单图形的边长和高。 * 注意单位换算，确保计算结果的单位一致。 * 根据实际情况选择合适的计算方法，力求简便。 ## 六、易错点 * 区分平行四边形和梯形：平行四边形两组对边都平行，梯形只有一组对边平行。 * 找三角形、平行四边形和梯形的高时，要注意垂直的关系。 * 计算组合图形的面积时，要明确各个简单图形的边长和高，避免重复计算或遗漏。 * 注意单位换算，保持单位一致。 * 三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 * 等腰三角形的两个底角相等，等边三角形三个角都是60度。这部分内容是小学五年级上册关于多边形的重点知识，理解这些概念和公式，并能够灵活运用解决实际问题，是学习几何图形的基础。

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