《一元一次不等式和一元一次不等式组》单元思维导图

一、一元一次不等式

1. 基本概念

• 不等式: 用不等号连接的，表示数量之间不等关系的式子。
  • 不等号的种类: >, <, ≥, ≤, ≠
  • 不等式的读法: 大于，小于，大于等于，小于等于，不等于
• 一元一次不等式: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
  • 一般形式: ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b (a ≠ 0)
  • 判断一个不等式是否为一元一次不等式。
    • 必须满足：只有一个未知数，未知数的最高次数为1，不等式
• 不等式的解: 使不等式成立的未知数的值。
• 不等式的解集: 使不等式成立的未知数的所有值的集合。
  • 表示方法：
    • 不等式形式：例如 x > 2, x ≤ -1
    • 数轴表示：注意空心圆和实心圆的区别，以及箭头方向。
• 解不等式: 求不等式解集的过程。

2. 不等式的性质

• 性质1: 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
  • 若 a > b, 则 a + c > b + c， a - c > b - c
• 性质2: 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
  • 若 a > b, c > 0, 则 ac > bc， a/c > b/c
• 性质3: 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
  • 若 a > b, c < 0, 则 ac < bc， a/c < b/c
• 重要性： 不等式的性质是解不等式的基础，特别是性质3，容易出错。

3. 解一元一次不等式

• 步骤:
  1. 去分母: (如果有分母) 不等式两边同乘分母的最小公倍数，注意每一项都要乘，且系数为负时，要变号。
  2. 去括号: 运用乘法分配律，注意括号前的符号，系数为负时，括号内每一项都要变号。
  3. 移项: 把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。
  4. 合并同类项: 将不等式两边分别合并同类项，化简成 ax > b 或 ax < b 等形式。
  5. 系数化为1: 不等式两边同除以未知数的系数，注意系数的正负，如果系数为负数，要改变不等号的方向。
• 注意事项:
  • 每一步都要根据不等式的性质进行变形。
  • 特别注意去分母和去括号时符号的变化。
  • 当系数化为1时，如果系数为负数，一定要改变不等号的方向。
• 解的检验: 将解代入原不等式验证。

4. 特殊情况

• 无解: 解集为空集，如 0x > a (a ≥ 0)，0x < a (a ≤ 0) 等。
• 解集为全体实数: 如 0x > a (a < 0)，0x < a (a > 0) 等。

5. 一元一次不等式的应用

• 列不等式解应用题:
  1. 审题: 弄清题意，找出已知条件和未知量，理清数量关系。
  2. 设未知数: 设一个适当的未知数。
  3. 列不等式: 根据题中的不等关系列出不等式。
  4. 解不等式: 解所列的不等式。
  5. 检验并作答: 检验解是否符合题意，并写出答案。
• 常见的关键词:
  • “至少”、“最多”、“不低于”、“不高于”等，转化为 ≥, ≤。
  • “大于”、“小于”、“超过”等，转化为 >, <。
• 常见题型：
  • 方案选择问题
  • 利润问题
  • 行程问题
  • 增长率问题

二、一元一次不等式组

1. 基本概念

• 一元一次不等式组: 由几个含有一个相同未知数的一元一次不等式所组成的不等式组。
• 不等式组的解集: 使不等式组中每一个不等式都成立的未知数的值的集合。
• 解不等式组: 求不等式组解集的过程。

2. 解一元一次不等式组

• 步骤:
  1. 分别解每个不等式: 求出不等式组中每一个不等式的解集。
  2. 在数轴上表示解集: 将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来。
  3. 确定公共部分: 观察数轴，找出所有不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集。
• 口诀：
  • 大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。
• 常见解集情况:
  • x > a, x > b (a < b): x > b (大大取大)
  • x < a, x < b (a < b): x < a (小小取小)
  • x > a, x < b (a < b): a < x < b (大小小大中间找)
  • x > a, x < b (a > b): 无解 (大大小小无解了)
• 包含等于号的情况: 与上述情况类似，只是注意端点是否包含。实心点表示包含，空心点表示不包含。

3. 特殊情况

• 无解: 不等式组中所有不等式的解集没有公共部分。
• 解集为一个点: 实际上是两个不等式都取得等号时的解。例如 x ≥ a, x ≤ a，则 x = a。

4. 一元一次不等式组的应用

• 列不等式组解应用题:
  1. 审题: 弄清题意，找出已知条件和未知量，理清数量关系。
  2. 设未知数: 设一个适当的未知数。
  3. 列不等式组: 根据题中的不等关系列出不等式组。
  4. 解不等式组: 解所列的不等式组。
  5. 检验并作答: 检验解是否符合题意，并写出答案。
• 关键： 找到至少两个不等关系，才能列出不等式组。
• 常见题型：
  • 整数解问题
  • 方案选择问题
  • 范围确定问题

三、重点与难点

• 重点:
  • 不等式的性质。
  • 解一元一次不等式和一元一次不等式组。
  • 运用不等式（组）解决实际问题。
• 难点:
  • 不等式性质3的应用（不等号方向的判断）。
  • 根据题意列不等式（组）。
  • 不等式组解集的确定，特别是包含等于号的情况。
  • 理解不等式组的特殊情况（无解，解集为一个点）。
• 学习方法:
  • 理解概念，掌握性质。
  • 多练习，熟能生巧。
  • 注重归纳总结，形成解题技巧。
  • 学会用数形结合的思想解决问题。