《数学四年级第三单元思维导图 上册》

一、运算定律

1.1 加法运算定律

• 1.1.1 加法交换律
  • 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
  • 公式： a + b = b + a
  • 应用：
    • 简便计算
    • 验算加法
    • 解决实际问题
  • 注意事项：
    • 只适用于加法运算
    • 加数可以是任意数
• 1.1.2 加法结合律
  • 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
  • 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 应用：
    • 简便计算
    • 凑整思想
    • 解决实际问题
  • 注意事项：
    • 只适用于加法运算
    • 加数可以是任意数
• 1.1.3 加法运算定律综合运用
  • 技巧：
    • 观察数据特点，寻找可以凑整的数。
    • 灵活运用交换律和结合律，改变运算顺序。
    • 将题目进行适当的变形，使其更易于计算。
  • 例题：
    • 25 + 37 + 75
    • 18 + 45 + 82 + 55

1.2 乘法运算定律

• 1.2.1 乘法交换律
  • 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  • 公式： a × b = b × a
  • 应用：
    • 简便计算
    • 验算乘法
    • 解决实际问题
  • 注意事项：
    • 只适用于乘法运算
    • 因数可以是任意数
• 1.2.2 乘法结合律
  • 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
  • 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 应用：
    • 简便计算
    • 凑整思想 (例如：25 × 4，125 × 8)
    • 解决实际问题
  • 注意事项：
    • 只适用于乘法运算
    • 因数可以是任意数
• 1.2.3 乘法分配律
  • 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
  • 公式： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
  • 逆用公式： a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c)
  • 应用：
    • 简便计算
    • 解决实际问题 (例如：求购买多件相同物品的总价)
  • 注意事项：
    • 乘法分配律连接的是加法和乘法两种运算。
    • 注意观察数据特点，灵活运用分配律。
• 1.2.4 乘法运算定律综合运用
  • 技巧：
    • 观察数据特点，寻找可以凑整的数或可以提取公因数的数。
    • 灵活运用交换律、结合律和分配律，改变运算顺序。
    • 将题目进行适当的变形，使其更易于计算。
  • 例题：
    • 25 × 125 × 4 × 8
    • 35 × 98
    • 101 × 65
    • 99 × 78

1.3 简便计算

• 1.3.1 基本方法
  • 凑整法：利用运算定律，将一些数凑成整十、整百、整千数，再进行计算。
  • 拆分法：将一个数拆分成两个数的和或差，再利用运算定律进行计算。
  • 转化法：将一种运算转化为另一种运算，例如将除法转化为乘法。
• 1.3.2 典型题型
  • 加减混合运算的简便计算。
  • 乘除混合运算的简便计算。
  • 含有括号的简便计算。
• 1.3.3 注意事项
  • 运算顺序不能改变。
  • 要认真审题，观察数据特点。
  • 灵活运用运算定律。

二、运算律的应用

2.1 解决实际问题

• 2.1.1 加法运算律的应用
  • 求总数问题。
  • 行程问题。
  • 统计问题。
• 2.1.2 乘法运算律的应用
  • 求总价问题。
  • 面积问题。
  • 体积问题。
• 2.1.3 综合应用
  • 需要综合运用加法和乘法运算律解决问题。
  • 需要仔细分析题意，找出数量关系。

2.2 估算

• 2.2.1 估算方法
  • 四舍五入法：将数字估算到最接近的整十、整百、整千数。
  • 进一法：将数字估算到比它大的最接近的整十、整百、整千数。
  • 去尾法：将数字估算到比它小的最接近的整十、整百、整千数。
• 2.2.2 估算应用
  • 检验计算结果的合理性。
  • 解决实际生活中的问题，例如购物、预算等。
• 2.2.3 注意事项
  • 根据具体情况选择合适的估算方法。
  • 估算结果只是一个近似值，不是准确值。

三、易错点

• 3.1 运算顺序错误：先算乘除后算加减，有括号先算括号内。
• 3.2 混淆运算定律：例如，将加法交换律应用于减法运算。
• 3.3 分配律的错误运用：例如，(a - b) × c = a × c + b × c (错误)。
• 3.4 忘记带符号：在利用运算定律进行简便计算时，要注意数字前的符号。
• 3.5 盲目凑整：并非所有题目都适合凑整，要观察数据特点再决定。

四、学习方法建议

• 4.1 理解运算定律的本质含义：不要死记硬背公式，要理解运算定律的内在规律。
• 4.2 大量练习：通过大量的练习，熟练掌握运算定律的应用。
• 4.3 举一反三：遇到新的题目，要尝试运用已学过的知识进行解决。
• 4.4 错题整理：将做错的题目整理起来，分析错误原因，避免再次犯同样的错误。
• 4.5 合作学习：与同学互相讨论，共同解决难题，互相学习，共同进步。