《高中立体几何思维导图》

一、直线与平面

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 多面体

• 棱柱：定义、性质、直棱柱、正棱柱
  • 平行六面体：定义、性质、直平行六面体、长方体、正方体
• 棱锥：定义、性质、正棱锥
  • 正四面体
• 棱台：定义、性质、正棱台
• 分类：按照面的数量、是否规则

1.1.2 旋转体

• 圆柱：定义、性质、轴、底面、侧面、母线
• 圆锥：定义、性质、轴、底面、侧面、母线
• 圆台：定义、性质、轴、底面、侧面、母线
• 球：定义、性质、球心、半径、大圆、小圆

1.2 直线与平面平行的判定与性质

1.2.1 直线与平面平行的判定定理

• 定理内容：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 符号表示：a ⊂ α, b ∥ a, => b ∥ α

1.2.2 直线与平面平行的性质定理

• 定理内容：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
• 符号表示：a ∥ α, a ⊂ β, α ∩ β = b, => a ∥ b

1.3 平面与平面平行的判定与性质

1.3.1 平面与平面平行的判定定理

• 定理内容：一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。
• 符号表示：a ⊂ α, b ⊂ α, a ∩ b = P, a ∥ β, b ∥ β, => α ∥ β

1.3.2 平面与平面平行的性质定理

• 定理内容：如果两个平面平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。
• 符号表示：α ∥ β, a ⊂ α, => a ∥ β

1.4 直线与平面垂直的判定与性质

1.4.1 直线与平面垂直的判定定理

• 定理内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与此平面垂直。
• 符号表示：a ⊂ α, b ⊂ α, a ∩ b = P, l ⊥ a, l ⊥ b, => l ⊥ α

1.4.2 直线与平面垂直的性质定理

• 性质1：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
• 符号表示：a ⊥ α, b ⊥ α, => a ∥ b
• 性质2：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直于已知平面。

1.5 平面与平面垂直的判定与性质

1.5.1 平面与平面垂直的判定定理

• 定理内容：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
• 符号表示：a ⊂ α, a ⊥ β, => α ⊥ β

1.5.2 平面与平面垂直的性质定理

• 定理内容：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
• 符号表示：α ⊥ β, α ∩ β = l, a ⊂ α, a ⊥ l, => a ⊥ β

1.6 三垂线定理及其逆定理

1.6.1 三垂线定理

• 定理内容：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

1.6.2 三垂线定理的逆定理

• 定理内容：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。

二、空间向量与立体几何

2.1 空间向量及其运算

2.1.1 空间向量的概念

• 向量的定义：既有大小又有方向的量
• 零向量、单位向量、相等向量、共线向量、共面向量
• 空间向量的表示：坐标表示

2.1.2 空间向量的线性运算

• 加法：平行四边形法则、三角形法则
• 减法：三角形法则
• 数乘：λa

2.1.3 空间向量的数量积

• 定义：a · b = |a| |b| cosθ
• 性质：
  • a · b = b · a
  • (λa) · b = λ(a · b)
  • a · a = |a|^2
  • a ⊥ b <=> a · b = 0
• 坐标运算：a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2

2.2 空间向量的应用

2.2.1 利用空间向量求线线角

• cosθ = |a · b| / (|a| |b|)
• 注意异面直线的情况，取锐角。

2.2.2 利用空间向量求线面角

• 求直线方向向量与平面法向量的夹角，再取余弦的绝对值，求得线面角的正弦值。
• sinθ = |n · a| / (|n| |a|)

2.2.3 利用空间向量求面面角

• 求两个平面法向量的夹角，再根据二面角的定义确定二面角的大小。
• cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)

2.2.4 利用空间向量证明平行与垂直

• 线线平行：方向向量共线
• 线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直
• 面面平行：法向量共线
• 线线垂直：方向向量数量积为零
• 线面垂直：直线方向向量与平面法向量共线
• 面面垂直：法向量数量积为零

2.2.5 利用空间向量求距离

• 点到面的距离：d = |n · AP| / |n|，其中AP是点A到平面内任一点P的向量，n是平面的法向量。
• 平行线之间的距离，转化为点到面的距离

三、几何体的表面积与体积

3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

3.1.1 柱体

• 表面积：S = 2S底 + S侧
• 体积：V = S底 * h
• 直棱柱：侧面积 = 底面周长 * 高

3.1.2 锥体

• 表面积：S = S底 + S侧
• 体积：V = (1/3)S底 * h
• 正棱锥：侧面积 = (1/2)底面周长 * 斜高

3.1.3 台体

• 表面积：S = S上底 + S下底 + S侧
• 体积：V = (1/3)(S上底 + S下底 + √(S上底 S下底)) h
• 正棱台：侧面积 = (1/2)(上底面周长 + 下底面周长) * 斜高

3.2 球的表面积与体积

3.2.1 球的表面积

• 公式：S = 4πR^2

3.2.2 球的体积

• 公式：V = (4/3)πR^3

四、高考常考题型与解题技巧

4.1 证明平行与垂直

• 线线平行：找平行线，构造平行四边形，利用中位线。
• 线面平行：面内找线，利用线线平行；利用判定定理。
• 面面平行：面内找两相交直线，利用线面平行；利用判定定理。
• 线线垂直：构造直角三角形，利用勾股定理；利用三垂线定理及其逆定理。
• 线面垂直：利用判定定理；利用已知垂直关系，逐步推导。
• 面面垂直：利用判定定理；找一个平面内的线垂直于另一个平面。

4.2 求角度与距离

• 线线角：平移构造，利用余弦定理；利用空间向量。
• 线面角：找射影，转化为解三角形问题；利用空间向量。
• 面面角：找二面角的平面角；利用空间向量。
• 点到面的距离：等体积法；空间向量法。
• 异面直线间的距离：转化为点到面的距离。

4.3 空间想象能力培养

• 多画图，养成画图习惯，辅助思考。
• 利用实物模型，辅助空间想象。
• 多做题，总结归纳，提高空间想象能力。

4.4 转化与化归思想的应用

• 将空间问题转化为平面问题。
• 将立体几何问题转化为代数问题。
• 将复杂问题转化为简单问题。

4.5 向量法解题的优缺点

• 优点：思路清晰，计算方便，避免复杂的空间想象。
• 缺点：计算量大，容易出错，需要熟练掌握向量运算。

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