《平面向量思维导图》

一、基本概念

• 1.1 向量的定义:
  • 既有大小又有方向的量。
  • 常用有向线段表示，始点指向终点。
  • 符号表示：a 或 AB (箭头在上方，Markdown 无法完美显示)
• 1.2 向量的模:
  • 向量的长度，记作 |a| 或 |AB|
  • 非负实数。
• 1.3 零向量:
  • 模为零的向量，记作 0
  • 方向任意，通常认为与任何向量平行。
• 1.4 单位向量:
  • 模为1的向量。
  • 与非零向量 a 同向的单位向量为 a / |a|
• 1.5 相等向量:
  • 大小相等且方向相同的向量。
  • 几何意义：平行且等长。
• 1.6 平行向量（共线向量）：
  • 方向相同或相反的向量。
  • a // b 存在实数 λ，使得 a = λb
• 1.7 相反向量:
  • 大小相等且方向相反的向量。
  • a 的相反向量记作 -a
  • a + (-a) = 0

二、线性运算

• 2.1 向量加法:
  • 2.1.1 三角形法则:
    • 将向量首尾相连，结果为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量。
  • 2.1.2 平行四边形法则:
    • 将两个向量起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，结果为这两个向量起点出发的对角线向量。
  • 2.1.3 加法性质:
    • a + b = b + a (交换律)
    • (a + b) + c = a + (b + c) (结合律)
    • a + 0 = a
    • a + (-a) = 0
• 2.2 向量减法:
  • a - b = a + (-b)
  • 几何意义：从 b 的终点指向 a 的终点的向量（起点重合）。
  • OA - OB = BA (A, B 为对应向量的终点，O 为坐标原点或任意起点)
• 2.3 向量数乘:
  • λa 表示一个向量，其模为 |λ| |a|
  • 当 λ > 0 时，λa 与 a 同向；当 λ < 0 时，λa 与 a 反向；当 λ = 0 时，λa = 0
  • 2.3.1 数乘性质:
    • λ(a + b) = λa + λb
    • (λ + μ)a = λa + μa
    • λ(μa) = (λμ)a
  • 2.3.2 共线定理:
    • 向量 a 与 b 共线，当且仅当存在唯一实数 λ，使得 a = λb ( b ≠ 0)

三、平面向量基本定理

• 3.1 定理内容:
  • 如果 e₁, e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ₁, λ₂，使得 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
  • e₁, e₂ 称为表示这一平面内所有向量的一组基底。
• 3.2 应用:
  • 分解向量：将向量表示为基底向量的线性组合。
  • 证明向量共线或不共线。
  • 解决几何问题。

四、平面向量的坐标表示

• 4.1 向量的坐标:
  • 在平面直角坐标系中，以 x 轴和 y 轴上的单位向量 i 和 j 作为基底，则任何一个向量 a 都可以表示成 a = xi + yj，有序实数对 (x, y) 称为向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。
  • x 称为 a 在 x 轴上的坐标，y 称为 a 在 y 轴上的坐标。
• 4.2 向量坐标的计算:
  • 若 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)，则 AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
• 4.3 向量线性运算的坐标表示:
  • a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
    • a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
    • a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
    • λa = (λx₁, λy₁)
• 4.4 向量共线的坐标表示:
  • a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
  • a // b ( b ≠ 0) 当且仅当 x₁y₂ - x₂y₁ = 0

五、平面向量的数量积

• 5.1 定义:
  • a · b = |a| |b| cosθ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，0 ≤ θ ≤ π
  • a · b 是一个数量，不是向量。
• 5.2 性质:
  • a · a = |a|²
  • a ⊥ b 当且仅当 a · b = 0
  • |a · b| ≤ |a| |b| (柯西不等式)
• 5.3 运算律:
  • a · b = b · a (交换律)
  • λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb)
  • (a + b) · c = a · c + b · c (分配律)
• 5.4 数量积的坐标表示:
  • a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
  • a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• 5.5 向量夹角的计算:
  • cosθ = (a · b) / (|a| |b|) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) √(x₂² + y₂²))
• 5.6 向量模的计算:
  • |a| = √(a · a) = √(x₁² + y₁²)

六、应用

• 6.1 解决几何问题:
  • 判断两直线垂直、平行。
  • 求角度、长度。
  • 证明线段关系。
• 6.2 解决物理问题:
  • 求力做的功。
  • 分解力。
• 6.3 解决三角函数问题:
  • 利用向量方法推导三角公式。
  • 解决三角形中的问题。
• 6.4优化问题：
  • 利用向量不等式求最值。