《平面图形思维导图》

一、基础概念

• 点:

  • 定义：空间中没有大小的位置。
  • 性质：无大小，只有位置。
  • 表示方法：用大写字母表示，如点A。

• 线:

  • 直线:
    • 定义：两点之间最短的距离。
    • 性质：无限延伸，没有端点。
    • 表示方法：直线AB或直线BA，也可以用小写字母表示，如直线l。
  • 射线:
    • 定义：直线的一部分，只有一个端点。
    • 性质：一端无限延伸，另一端有端点。
    • 表示方法：射线AB (A为端点，B为射线上的任意一点)。
  • 线段:
    • 定义：直线的一部分，有两个端点。
    • 性质：有长度，不可延伸。
    • 表示方法：线段AB或线段BA。
  • 曲线:
    • 定义：不是直线，弯曲的线。
    • 例子：圆，椭圆，抛物线等。

• 角:

  • 定义：由两条有公共端点的射线组成的图形。
  • 组成：顶点，两条边。
  • 分类：
    • 锐角: 大于0°小于90°
    • 直角: 等于90°
    • 钝角: 大于90°小于180°
    • 平角: 等于180°
    • 周角: 等于360°
  • 表示方法：∠AOB，∠O，或者用数字表示，如∠1。
  • 角度单位：度 (°), 分 ('), 秒 (")。

二、多边形

• 定义: 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
• 分类:
  • 三角形:
    • 定义：由三条线段围成的封闭图形。
    • 分类：
      • 按角分:
        • 锐角三角形 (三个角都是锐角)
        • 直角三角形 (有一个角是直角)
        • 钝角三角形 (有一个角是钝角)
      • 按边分:
        • 等边三角形 (三条边都相等)
        • 等腰三角形 (两条边相等)
        • 不等边三角形 (三条边都不相等)
    • 性质：
      • 三角形内角和等于180°。
      • 三角形任意两边之和大于第三边。
      • 三角形任意两边之差小于第三边。
      • 特殊线段：中线，高线，角平分线。
    • 面积计算：S = 1/2 底 高
  • 四边形:
    • 定义：由四条线段围成的封闭图形。
    • 分类：
      • 平行四边形: 两组对边分别平行的四边形。
        • 性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
        • 面积计算：S = 底 * 高
      • 矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
        • 性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
        • 面积计算：S = 长 * 宽
      • 菱形: 四条边都相等的平行四边形。
        • 性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且分别平分一组对角。
        • 面积计算：S = 1/2 对角线1 对角线2
      • 正方形: 四个角都是直角且四条边都相等的四边形。
        • 性质：具有矩形和菱形的所有性质。
        • 面积计算：S = 边长 * 边长
      • 梯形: 只有一组对边平行的四边形。
        • 分类：等腰梯形，直角梯形。
        • 面积计算：S = 1/2 (上底 + 下底) 高
  • 正多边形: 各边相等，各角也相等的多边形。
    • 例子：正五边形，正六边形等。

三、圆和扇形

• 圆:
  • 定义：平面上到定点距离等于定长的点的集合。
  • 组成：圆心，半径，直径。
  • 性质：
    • 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
    • 同一圆或等圆中，半径相等，直径相等，直径等于半径的两倍。
    • 同一圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
  • 周长计算：C = 2πr = πd
  • 面积计算：S = πr²
• 扇形:
  • 定义：由圆心角和它所对的弧围成的图形。
  • 面积计算：S = (n/360)πr²，其中n为圆心角的度数。
  • 弧长计算：l = (n/180)πr

四、周长和面积

• 周长: 封闭图形一周的长度。
• 面积: 平面图形所占平面的大小。
• 常用单位:
  • 长度：米(m), 分米(dm), 厘米(cm), 毫米(mm)
  • 面积：平方米(m²), 平方分米(dm²), 平方厘米(cm²), 平方毫米(mm²)
• 换算关系:
  • 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
  • 1 m² = 100 dm² = 10000 cm² = 1000000 mm²

五、对称

• 轴对称图形: 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
  • 对称轴：折叠时所在的直线。
  • 例子：线段，角，等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
• 中心对称图形: 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形。
  • 对称中心：旋转时所在的点。
  • 例子：线段，平行四边形，矩形，菱形，正方形，圆。
• 既是轴对称又是中心对称图形：正方形、圆

六、常见题型

• 求面积：组合图形的面积，阴影部分的面积。
• 求周长：特殊图形的周长计算。
• 判断图形的性质：根据已知条件判断图形的形状。
• 几何变换：平移，旋转，对称。
• 实际应用：利用平面图形的知识解决实际问题。