《图形的认识思维导图》

一、点、线、面、体

• 点:

  • 概念：空间中只有位置，没有大小的几何元素。
  • 表示：通常用大写字母表示，如点A。
  • 特性：无大小，无形状。

• 线:

  • 直线:
    • 概念：向两方无限延伸的线。
    • 表示：用直线上两个点表示（如直线AB）或用一个小写字母表示（如直线l）。
    • 特性：没有端点，可以无限延伸。
    • 关系：两点确定一条直线。
  • 射线:
    • 概念：直线上一点和它一旁的部分组成的线。
    • 表示：用端点和射线上另一点表示（端点在前，如射线OA）。
    • 特性：只有一个端点，可以向一方无限延伸。
  • 线段:
    • 概念：直线上两点和它们之间的部分组成的线。
    • 表示：用两个端点表示（如线段AB）。
    • 特性：有两个端点，长度可以测量。
  • 曲线:
    • 概念：弯曲的线，不是直线。
    • 例子：圆、椭圆、抛物线等。

• 面:

  • 平面:
    • 概念：无限延展的平坦表面。
    • 例子：桌面、平静的水面。
    • 特性：没有厚度，可以无限延展。
  • 曲面:
    • 概念：弯曲的表面。
    • 例子：球的表面、圆柱的侧面。

• 体:

  • 概念：由面围成的立体图形。
  • 例子：长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
  • 组成：有顶点、棱、面。

二、角

• 角的定义:

  • 概念：由一条公共端点的两条射线组成的图形。
  • 组成：顶点、两条边。

• 角的度量:

  • 单位：度(°)
  • 量角器：测量角的工具。

• 角的分类:

  • 锐角: 大于0°小于90°的角。
  • 直角: 等于90°的角。
  • 钝角: 大于90°小于180°的角。
  • 平角: 等于180°的角。
  • 周角: 等于360°的角。
  • 反角: 大于180°小于360°的角（部分教材不涉及）。

• 角的关系:

  • 邻补角: 有一条公共边，并且两条不公共边互为反向延长线的两个角。
  • 对顶角: 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角。
    • 性质：对顶角相等。
  • 互余角: 和为90°的两个角。
  • 互补角: 和为180°的两个角。
  • 角平分线: 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三、平面图形

• 三角形:

  • 定义：由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形。
  • 分类：
    • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
    • 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形（正三角形）。
  • 特性：
    • 三角形具有稳定性。
    • 三角形的内角和等于180°。
    • 三角形任意两边之和大于第三边。
  • 重要线段：
    • 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。
    • 高线：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
    • 角平分线：一个角的角平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

• 四边形:

  • 定义：由四条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形。
  • 分类：
    • 平行四边形: 两组对边分别平行的四边形。
      • 性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
    • 矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
      • 性质：具备平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等且互相平分。
    • 菱形: 四条边都相等的平行四边形。
      • 性质：具备平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
    • 正方形: 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
      • 性质：具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
    • 梯形: 只有一组对边平行的四边形。
      • 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
      • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。
  • 四边形内角和：360°

• 多边形:

  • 定义：由三条或三条以上的线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形。
  • 分类：正多边形、非正多边形。
  • 内角和：(n-2)×180° (n为边数)
  • 外角和：360°

• 圆:

  • 定义：平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形。
  • 组成：圆心、半径、直径。
  • 特性：圆心确定位置，半径确定大小。
  • 周长：C = 2πr = πd
  • 面积：S = πr²
  • 弧、弦、圆心角、圆周角：
    • 弧：圆上任意两点之间的部分。
    • 弦：连接圆上任意两点的线段。
    • 圆心角：顶点在圆心的角。
    • 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
    • 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

四、立体图形

• 棱柱:

  • 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
  • 分类：直棱柱、斜棱柱。
  • 特殊棱柱：长方体、正方体。

• 棱锥:

  • 定义：一个面是多边形，其余各面都有一个公共顶点的三角形的多面体。
  • 分类：正棱锥、非正棱锥。

• 圆柱:

  • 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的几何体。
  • 组成：两个底面（圆）、侧面（曲面）。
  • 表面积：S = 2πr² + 2πrh
  • 体积：V = πr²h

• 圆锥:

  • 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的几何体。
  • 组成：一个底面（圆）、侧面（曲面）。
  • 表面积：S = πr² + πrl (l为母线长)
  • 体积：V = (1/3)πr²h

• 球:

  • 定义：空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
  • 组成：球心、半径。
  • 表面积：S = 4πr²
  • 体积：V = (4/3)πr³