《向量思维导图》

一、基本概念

• 定义：
  • 既有大小又有方向的量。
  • 通常用有向线段表示，箭头指向表示方向，线段长度表示大小（模）。
• 表示：
  • 几何表示： $\overrightarrow{AB}$，起点A，终点B。
  • 坐标表示： $\vec{a} = (x, y)$ （二维）， $\vec{a} = (x, y, z)$ （三维）。
  • 符号表示：粗体字母 a 或者 带箭头字母 $\vec{a}$。
• 要素：
  • 方向
  • 大小（模）: $|\vec{a}|$
• 特殊向量：
  • 零向量：模为0，方向任意，记作 $\vec{0} = (0, 0)$ 或 $\vec{0} = (0, 0, 0)$。
  • 单位向量：模为1的向量。与 $\vec{a}$ 同方向的单位向量为 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。
  • 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。$\vec{a} = \lambda \vec{b}$ (λ为实数)。
  • 相等向量：模相等且方向相同的向量。
  • 相反向量：模相等且方向相反的向量。

二、向量运算

• 加法：
  • 三角形法则：首尾相连，结果为从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量。$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$。
  • 平行四边形法则：起点相同，以两个向量为邻边作平行四边形，结果为该平行四边形的对角线（以起点为起点）。
  • 坐标运算：$\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
  • 运算律：
    • 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
    • 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
• 减法：
  • 三角形法则：起点相同，结果为从减向量终点指向被减向量终点的向量。$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$。
  • 坐标运算：$\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
  • $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$
• 数乘：
  • 定义：$\lambda \vec{a}$，其中 λ 为实数。
    • 当 λ > 0 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相同，模为 $|\lambda| |\vec{a}|$。
    • 当 λ < 0 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反，模为 $|\lambda| |\vec{a}|$。
    • 当 λ = 0 时，$\lambda \vec{a} = \vec{0}$。
  • 坐标运算：$\vec{a} = (x, y)$，则 $\lambda \vec{a} = (\lambda x, \lambda y)$。
  • 运算律：
    • $\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}$。
    • $(\lambda + \mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$。
    • $\lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$。
• 数量积（点积、内积）：
  • 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$，其中 θ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。
  • 坐标运算：$\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$。
  • 性质：
    • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$。
    • $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
    • $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。
    • $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$。
  • 运算律：
    • 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$。
    • 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$。
    • $(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})$。
• 向量积（叉积、外积）： (仅限三维)
  • 定义：$\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其模为 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$，方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面（满足右手定则）。
  • 坐标运算：$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则 $\vec{a} \times \vec{b} = (y_1 z_2 - y_2 z_1, z_1 x_2 - z_2 x_1, x_1 y_2 - x_2 y_1)$。
  • 性质：
    • $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$。
    • $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$。
    • $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 等于以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。
  • 运算律：
    • 分配律：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$。
    • $(\lambda \vec{a}) \times \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\lambda \vec{b})$。

三、重要定理与应用

• 平面向量基本定理： 如果 $\vec{e_1}, \vec{e_2}$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使 $\vec{a} = \lambda_1 \vec{e_1} + \lambda_2 \vec{e_2}$。 ( $\vec{e_1}, \vec{e_2}$ 称为一组基底)。
• 共线定理： $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 $\Leftrightarrow$ 存在唯一实数 λ，使得 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$）。
• 共面定理： 空间向量 $\vec{p}$ 与向量 $\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}$ 共面 $\Leftrightarrow$ 存在实数 x,y,z 使得 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$。
• 向量在几何中的应用：
  • 证明线段平行、垂直。
  • 求角度、距离。
  • 判断共线、共面。
  • 解决与平行四边形、三角形等相关的几何问题。
• 向量在物理中的应用：
  • 力的合成与分解。
  • 速度的合成与分解。
  • 位移的表示。
  • 动量、冲量等物理量的表示。

四、常见题型

• 向量的线性运算： 涉及加法、减法、数乘的计算，以及向量的分解与合成。
• 向量的数量积（点积）： 求解向量的模、夹角、判断垂直关系。
• 向量的坐标运算： 利用坐标表示进行向量的加减、数乘、点积的计算。
• 向量与平面几何： 利用向量的性质解决平面几何问题，如证明线段平行、垂直、求解角度等。
• 向量与空间几何： 利用向量的性质解决空间几何问题，如证明线面平行、线面垂直、求二面角等。
• 向量的应用问题： 将向量知识应用于解决物理问题，如力学、运动学等。

五、注意事项

• 区分向量与数量：向量既有大小又有方向，而数量只有大小，没有方向。
• 注意向量的起点与终点：不同的起点和终点表示不同的向量。
• 掌握向量运算的几何意义与坐标运算：能够灵活运用不同的运算方式解决问题。
• 注意向量的共线与垂直条件：能够根据条件判断向量之间的关系。
• 灵活运用向量解决实际问题：将向量知识应用于解决几何、物理等领域的实际问题。