《空间向量思维导图》

一、向量的基础概念

• 定义： 既有大小又有方向的量。
• 表示方法：
  • 几何表示：有向线段 (起点，终点，箭头)。
  • 坐标表示：三维坐标 (x, y, z)。
• 基本要素：
  • 起点
  • 方向
  • 长度 (模)
• 特殊向量：
  • 零向量：模为零，方向任意。
  • 单位向量：模为1。
  • 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
  • 相等向量：模相等且方向相同。
• 向量的模：
  • 几何意义：向量的长度。
  • 坐标表示：|a| = √(x² + y² + z²) (其中 a = (x, y, z))
• 方向余弦：
  • 定义：非零向量 a 与 x, y, z 轴正向的夹角余弦值，分别记为 cosα, cosβ, cosγ。
  • 关系：cos²α + cos²β + cos²γ = 1
  • 方向向量：(cosα, cosβ, cosγ)为单位向量。

二、向量的线性运算

• 加法：
  • 三角形法则：将向量首尾相接，从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
  • 平行四边形法则：将两个向量的起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为和向量。
  • 坐标运算：a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂) (其中 a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂))
• 减法：
  • 几何意义：a - b 等于 a 加上 b 的反向量。
  • 坐标运算：a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂) (其中 a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂))
• 数乘：
  • 几何意义：λa 的模变为 |λ||a|，当 λ > 0 时方向与 a 相同，λ < 0 时方向与 a 相反。
  • 坐标运算：λa = (λx, λy, λz) (其中 a = (x, y, z))
• 线性运算的性质：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 分配律：λ(a + b) = λa + λb， (λ + μ)a = λa + μa

三、向量的数量积 (点积)

• 定义： a · b = |a||b|cosθ (其中 θ 为 a 和 b 的夹角)
• 坐标运算： a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ (其中 a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂))
• 几何意义： a 在 b 方向上的投影的模乘以 b 的模。
• 性质：
  • 交换律：a · b = b · a
  • 分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
  • (λa) · b = λ(a · b) = a · (λb)
• 应用：
  • 求向量的模：|a| = √(a · a)
  • 求向量的夹角：cosθ = (a · b) / (|a||b|)
  • 判断向量是否垂直：a ⊥ b <=> a · b = 0

四、向量的向量积 (叉积) (高中不要求掌握，了解即可)

• 定义： a × b 是一个向量，模为 |a||b|sinθ (其中 θ 为 a 和 b 的夹角)，方向垂直于 a 和 b 所在的平面，并满足右手螺旋法则。
• 坐标运算： a × b = (y₁z₂ - y₂z₁, z₁x₂ - z₂x₁, x₁y₂ - x₂y₁) (其中 a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂))
• 几何意义： |a × b| 等于以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积。
• 性质：
  • 反交换律：a × b = - (b × a)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • (λa) × b = λ(a × b) = a × (λb)
• 应用：
  • 求平行四边形的面积。
  • 判断三个向量是否共面。
  • 计算力矩。

五、空间直线与平面的向量表示

• 直线：
  • 方向向量：与直线平行的向量。
  • 方程：
    • 参数式：r = r₀ + td (其中 r₀ 为直线上一点的位置向量，d 为方向向量，t 为参数)
    • 标准式：(x - x₀) / l = (y - y₀) / m = (z - z₀) / n (其中 (x₀, y₀, z₀) 为直线上一点，(l, m, n) 为方向向量)
• 平面：
  • 法向量：与平面垂直的向量。
  • 方程：
    • 点法式：n · (r - r₀) = 0 (其中 n 为法向量，r₀ 为平面上一点的位置向量，r 为平面上任意一点的位置向量)
    • 一般式：Ax + By + Cz + D = 0 (其中 (A, B, C) 为法向量)
• 位置关系：
  • 直线与直线：
    • 平行：方向向量平行。
    • 相交：方向向量不平行，且存在公共点。
    • 异面：方向向量不平行，且不存在公共点。
    • 垂直：方向向量的数量积为零。
  • 直线与平面：
    • 平行：方向向量与法向量垂直。
    • 相交：方向向量与法向量不垂直。
    • 垂直：方向向量与法向量平行。
    • 直线在平面内：方向向量与法向量垂直，且直线上一点在平面内。
  • 平面与平面：
    • 平行：法向量平行。
    • 相交：法向量不平行。
    • 垂直：法向量的数量积为零。
• 角度与距离：
  • 直线与平面所成的角：sinθ = |(d · n) / (|d||n|)| (其中 d 为方向向量，n 为法向量)
  • 二面角：cosθ = |(n₁ · n₂) / (|n₁||n₂|)| (其中 n₁, n₂ 分别为两个平面的法向量)
  • 点到直线的距离：d = |(AP × d) / |d|| (其中 A 为直线外一点，P 为直线上一点，d 为方向向量)
  • 点到平面的距离：d = |(AP · n) / |n|| (其中 A 为平面外一点，P 为平面上一点，n 为法向量)

六、空间向量的应用

• 证明线线平行、垂直、相交。
• 证明线面平行、垂直、相交。
• 求空间角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）。
• 求距离（点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的距离）。
• 判断空间几何体的性质（如正方体、长方体、棱柱、棱锥）。
• 解决立体几何中的计算问题。

该思维导图涵盖了空间向量的核心概念和应用，希望能帮助理解和掌握相关知识。