《高二数学圆锥曲线思维导图》

一、圆锥曲线总览

• 定义:
  • 一动点到一定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离的比是常数 e 的轨迹。
    • e < 1 -> 椭圆
    • e = 1 -> 抛物线
    • e > 1 -> 双曲线
• 共同性质:
  • 焦点 (单/双)
  • 准线 (单/双)
  • 离心率 e
  • 焦半径
• 方程形式:
  • 标准方程：焦点在坐标轴上
  • 一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (判断圆锥曲线类型需要满足特定条件)
• 焦点位置的判断:
  • 比较分母大小：标准方程中x², y²项分母的大小决定焦点位置
• 弦长公式:
  • |AB| = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²), 其中 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)
  • 设直线 l: y = kx + b 与圆锥曲线相交于 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), 则
    • |AB| = √(1 + k²) |x₁ - x₂| = √(1 + (1/k)²) |y₁ - y₂|

二、椭圆

• 定义: 到两个定点（焦点）的距离之和为常数（大于两焦点间距离）的动点轨迹。
• 标准方程:
  • 焦点在 x 轴： x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)
  • 焦点在 y 轴： y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0)
• 几何性质:
  • a: 长半轴长
  • b: 短半轴长
  • c: 半焦距 (c² = a² - b²)
  • 焦点：F₁(−c, 0), F₂(c, 0) (x轴) 或 F₁(0, -c), F₂(0, c) (y轴)
  • 顶点：(±a, 0), (0, ±b) (x轴) 或 (0, ±a), (±b, 0) (y轴)
  • 离心率：e = c/a (0 < e < 1)
  • 准线：x = ±a²/c (x轴) 或 y = ±a²/c (y轴)
  • 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称
• 重要结论:
  • 焦半径：|PF₁| = a + ex, |PF₂| = a - ex (焦点在x轴，P(x,y))
  • 椭圆上的点到焦点的最大/小距离：a + c, a - c
• 参数方程:
  • x = a cosθ, y = b sinθ (θ为参数)

三、双曲线

• 定义: 到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数（小于两焦点间距离）的动点轨迹。
• 标准方程:
  • 焦点在 x 轴： x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
  • 焦点在 y 轴： y²/a² - x²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
• 几何性质:
  • a: 实半轴长
  • b: 虚半轴长
  • c: 半焦距 (c² = a² + b²)
  • 焦点：F₁(−c, 0), F₂(c, 0) (x轴) 或 F₁(0, -c), F₂(0, c) (y轴)
  • 顶点：(±a, 0) (x轴) 或 (0, ±a) (y轴)
  • 离心率：e = c/a (e > 1)
  • 渐近线：y = ±(b/a)x (x轴) 或 y = ±(a/b)x (y轴)
  • 准线：x = ±a²/c (x轴) 或 y = ±a²/c (y轴)
  • 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称
• 重要结论:
  • 焦半径：|PF₁| = |a + ex|, |PF₂| = |a - ex| (焦点在x轴，P(x,y))
  • 双曲线上的点到焦点的最小距离：c - a
  • 等轴双曲线：a = b, 方程 x² - y² = a² 或 y² - x² = a², 渐近线互相垂直
• 共轭双曲线: x²/a² - y²/b² = -1，与 x²/a² - y²/b² = 1 互为共轭双曲线，具有相同的渐近线.

四、抛物线

• 定义: 到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的动点轨迹。
• 标准方程:
  • y² = 2px (p > 0): 焦点 (p/2, 0), 准线 x = -p/2, 开口向右
  • y² = -2px (p > 0): 焦点 (-p/2, 0), 准线 x = p/2, 开口向左
  • x² = 2py (p > 0): 焦点 (0, p/2), 准线 y = -p/2, 开口向上
  • x² = -2py (p > 0): 焦点 (0, -p/2), 准线 y = p/2, 开口向下
• 几何性质:
  • 焦点：(p/2, 0), (-p/2, 0), (0, p/2), (0, -p/2) (取决于方程)
  • 准线：x = -p/2, x = p/2, y = -p/2, y = p/2 (取决于方程)
  • 离心率：e = 1
  • 顶点：(0, 0)
  • 对称性：关于 x 轴或 y 轴对称 (取决于方程)
• 重要结论:
  • 焦半径：|PF| = x + p/2 (y² = 2px), |PF| = -x + p/2 (y² = -2px), |PF| = y + p/2 (x² = 2py), |PF| = -y + p/2 (x² = -2py)
  • 通径：过焦点的弦，长度为 2p

五、直线与圆锥曲线的位置关系

• 相交: 联立直线方程和圆锥曲线方程，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，判别式 Δ > 0
• 相切: 联立直线方程和圆锥曲线方程，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，判别式 Δ = 0
• 相离: 联立直线方程和圆锥曲线方程，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，判别式 Δ < 0
• 弦长问题:
  • 联立方程，利用韦达定理求出 x₁ + x₂, x₁x₂ (或 y₁ + y₂, y₁y₂)
  • 利用弦长公式 |AB| = √(1 + k²) |x₁ - x₂| = √(1 + k²) √((x₁ + x₂)² - 4x₁x₂)

六、圆锥曲线的综合应用

• 定点问题: 证明直线或曲线过定点，通常设直线方程，利用条件消去参数，得到方程，从而找出定点。
• 定值问题: 证明某个量为定值，通常用参数表示该量，利用已知条件化简该表达式，证明其与参数无关。
• 最值问题: 利用圆锥曲线的几何性质，结合不等式、函数等知识求解。
• 轨迹问题:
  • 直接法：直接根据题意，建立动点满足的关系式。
  • 定义法：利用圆锥曲线的定义建立动点满足的关系式。
  • 相关点法（代入法）：找到动点与已知点之间的关系，将已知点的坐标代入已知曲线方程。
  • 参数法：用参数表示动点坐标，再消去参数。
• 向量问题: 运用向量的坐标运算和性质，结合圆锥曲线的方程和几何性质解决问题。
• 对称问题: 利用圆锥曲线的对称性，结合直线关于点或点关于直线的对称，解决相关问题。
• 存在性问题: 假设结论成立，推导出满足条件的参数，若存在，则结论成立，否则不成立。

七、解题技巧与注意事项

• 灵活运用圆锥曲线的定义和性质。
• 注意方程的各种形式及其适用范围。
• 注意数形结合思想的应用。
• 注意计算的准确性，避免低级错误。
• 关注题目中的隐含条件。
• 重视圆锥曲线与其它知识的综合应用。

This markdown output provides a comprehensive overview of conic sections, suitable as a study guide or reference material for high school students. It covers definitions, standard equations, geometric properties, key conclusions, and problem-solving techniques. The organized structure makes it easy to navigate and review important concepts.